Estremi vincolati: non riesco a proseguire...

[zio_mangrovia]

Gli estremidi $f(x,y)=sin(x+y)$ su $x^2+y^2 ≤1$ sono:

Mi ricavo le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ che sono coincidenti : $cos(x+y)$
Pongo il gradiente uguale a zero quindi $cos(x+y)=0$ una sola equazione dove la soluzione dovrebbe essere:

$x+y=pi/2+kpi$ , $kinZZ$ $->x=-y+pi/2+kpi$ da qui non riesco ad andare avanti

Mi aiutate per favore?

[Studente Anonimo]

"Vulplasir":
@anonymous_0b37e9 aveva postato il procedimento grafico che si deve fare ...

Poiché le linee di livello sono parallele alla bisettrice del 2° e del 4° quadrante e la funzione assume valori crescenti quando si spostano verso nord-est:

il minimo assoluto è il punto di tangenza $T_1$:

$T_1(-sqrt2/2,-sqrt2/2) ^^ f(-sqrt2/2,-sqrt2/2)=-sinsqrt2$

e il massimo assoluto è il punto di tangenza $T_2$:

$T_2(sqrt2/2,sqrt2/2) ^^ f(sqrt2/2,sqrt2/2)=sinsqrt2$

Inoltre, negli estremi assoluti le curve di livello sono tangenti alla frontiera del dominio, condizione equivalente a imporre il parallelismo delle direzioni normali negli estremi medesimi (moltiplicatori di Lagrange).

[zio_mangrovia]

"anto_zoolander":Parametrizza il bordo..

Mi sono riletto un po' di documentazione e vorrei condividere con voi un po' di cose per verificare se ho ben compreso la teoria applicata a questo esercizio.

Procedendo con la parametrizzazione ottengo $sin(cosx+sinx)$ come già avevi determinato tu e ne studio i punti di max e min come di consueto con una sola variabile, cioè calcolo la derivata prima, la pongo uguale a zero e poi vedo quali sono i punti dove la derivata assume versi opposti rispettivamente nell'intorno destro e sinistro.
Quando trovo i punti quindi di max e min della funzione $sin(cosx+sinx)$ saranno quelli corrispondenti ai valori della mia funzione $sin(x+y)$ e basta che trovi la 3a coordinata $f(x,y)$ per capire se siano assoluti o relativi , in base anche all'andamento della funzione ai suoi estremi dell'intervallo.
Avrei potuto procedere anche con il metodi dei moltiplicatori di Lagrange ma mi sembra piuttosto complessa la risoluzione del sistema.
Quindi in definitiva se ho una restrizione su un insieme aperto posso usare Fermat altrimenti se l'insieme è chiuso devo analizzare la frontiera. Che dite dei miei ragionamenti?

[zio_mangrovia]

"anonymous_0b37e9":
Poiché le linee di livello sono parallele alla bisettrice del 2° e del 4° quadrante e la funzione assume valori crescenti quando si spostano verso nord-est:

in questo caso non capisco le linee di livello a cosa si riferiscono?

$T_1(-sqrt2/2,-sqrt2/2) ^^ f(-sqrt2/2,-sqrt2/2)=-sinsqrt2$

e il massimo assoluto è il punto di tangenza $T_2$:

Non capisco questa relazione

$T_2(sqrt2/2,sqrt2/2) ^^ f(sqrt2/2,sqrt2/2)=sinsqrt2$

Inoltre, negli estremi assoluti le curve di livello sono tangenti alla frontiera del dominio, condizione equivalente a imporre il parallelismo delle direzioni normali negli estremi medesimi (moltiplicatori di Lagrange).[/quote]

Questo non lo sapevo: negli estremi assoluti le curve di livello sono tangenti alla frontiera del dominio
La condizione equivalente a imporre il parallelismo delle direzioni normali negli estremi medesimi (moltiplicatori di Lagrange) mi è oscura.

Conosco il metodo dei molt. di L o tramite parametrizzazione ma questo con le curve di livello per me è oscuro.
Grazie comunque per averci provato!

[Studente Anonimo]

"zio_mangrovia":
... non capisco le linee di livello a cosa si riferiscono?

Nel caso di una funzione di due variabili, sono il luogo geometrico dei punti appartenenti al dominio in cui la funzione assume valore costante:

$[sin(x+y)=C] harr [x+y=C]$

Quindi, nel caso in esame, sono rette parallele alla bisettrice del 2° e del 4° quadrante.

"zio_mangrovia":
Non capisco questa relazione ...

Punto di tangenza

$T_2(sqrt2/2,sqrt2/2)$

Valore della funzione nel punto di tangenza

$f(sqrt2/2,sqrt2/2)=sinsqrt2$

"zio_mangrovia":
... negli estremi assoluti le curve di livello sono tangenti alla frontiera del dominio ... condizione equivalente a imporre il parallelismo delle direzioni normali negli estremi medesimi mi è oscura.

Negli estremi relativi appartenenti alla frontiera, la frontiera medesima è tangente alla curva di livello. Quindi, la frontiera e la curva di livello condividono la direzione normale:

Curva di livello

$f(x,y)-C=0$

Direzione normale alla curva di livello

$\nablaf(x,y)$

Frontiera

$g(x,y)=0$

Direzione normale alla frontiera

$\nablag(x,y)$

Parallelismo direzioni normali (moltiplicatori di Lagrange)

$\nablaf(x,y)=\lambda\nablag(x,y)$