Estremi vincolati in 3 variabili
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio sugli estremi vincolati ma non so come procedere.
$ f(x,y)=3x+y+z-1 $ sul dominio $ B={x>=0,y>=0,z>=0,x+y+z<=2} $
Ho provato con il teorema del moltiplicatore ma vengono due valori diversi di \( \lambda \) . Se volessi procedere con la parametrizzazione come dovrei fare? Grazie
$ f(x,y)=3x+y+z-1 $ sul dominio $ B={x>=0,y>=0,z>=0,x+y+z<=2} $
Ho provato con il teorema del moltiplicatore ma vengono due valori diversi di \( \lambda \) . Se volessi procedere con la parametrizzazione come dovrei fare? Grazie
Risposte
In che senso vengono due valori di $\lambda$ ?
Lo imposto cosi:
\( \nabla f(x,y,z)=(3,1,1) \) che è sempre diverso da \( (0,0,0) \) quindi non ci sono estremanti all'interno del dominio.
Scrivo poi il gradiente del vincolo \(x+y+z=2\) che chiamo : \( \nabla g(x,y,z)=(1,1,1) \). Successivamente per il teorema del moltiplicatore
\( \begin{cases} 3-\lambda=0 \\ 1-\lambda=0 \\ x+y+z=2 \end{cases} \)
Risulta quindi \( \lambda =3 \) e \( \lambda =1 \) . Sto sbagliando qualcosa io?
\( \nabla f(x,y,z)=(3,1,1) \) che è sempre diverso da \( (0,0,0) \) quindi non ci sono estremanti all'interno del dominio.
Scrivo poi il gradiente del vincolo \(x+y+z=2\) che chiamo : \( \nabla g(x,y,z)=(1,1,1) \). Successivamente per il teorema del moltiplicatore
\( \begin{cases} 3-\lambda=0 \\ 1-\lambda=0 \\ x+y+z=2 \end{cases} \)
Risulta quindi \( \lambda =3 \) e \( \lambda =1 \) . Sto sbagliando qualcosa io?
Allora la funzione $f(x,y,z)$ ha il gradiente che non si annulla mai, quindi non ha estremi interni al dominio.
Quindi bisogna cercare sulla frontiera, ovvero sulle facce.
Sulle facce è banale trovare che il gradiente non è mai parallelo alla normale della faccia, quindi anche qui niente estremi.
Allora si cerca sulla frontiera della frontiera, ovvero sui segmenti di retta che delimitano le facce.
Sui segmenti si dovrebbe verificare che esiste un vettore perpendicolare ai segmenti che è parallelo al gradiente. In altre parole una delle rette dovrebbe essere perpendicolare al gradiente. Ma anche in questo caso è banale vedere che cio' non si verfica mai.
Allora non restano che gli estremi delle rette (la frontiera della frontiera della frontiera), ovvero i vertici del dominio, che è un tetraedro.
Si controllano i punti uno a uno, e si trovano gli estremi.
Quindi bisogna cercare sulla frontiera, ovvero sulle facce.
Sulle facce è banale trovare che il gradiente non è mai parallelo alla normale della faccia, quindi anche qui niente estremi.
Allora si cerca sulla frontiera della frontiera, ovvero sui segmenti di retta che delimitano le facce.
Sui segmenti si dovrebbe verificare che esiste un vettore perpendicolare ai segmenti che è parallelo al gradiente. In altre parole una delle rette dovrebbe essere perpendicolare al gradiente. Ma anche in questo caso è banale vedere che cio' non si verfica mai.
Allora non restano che gli estremi delle rette (la frontiera della frontiera della frontiera), ovvero i vertici del dominio, che è un tetraedro.
Si controllano i punti uno a uno, e si trovano gli estremi.
Ok e se volessi procedere tramite parametrizzazione dell'insieme? Dovrei lavorare su una sua proiezione?
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