Estremi vincolati e Weierstrass
Dallo studio, ho capito che posso affermare con sicurezza di avere un massimo e minimo solamente se il vincolo a cui mi riferisco per la f, è compatto, quindi limitato e chiuso. In caso sia aperto o illimitato, non posso sapere con certezza se esistono ... in questo caso come procedo?
Ve lo chiedo perchè nel vedere lo svolgimento di alcuni esercizi di una collega di università, sono rimasta un po' spaesata.
Ho $f(x,y)= ln (x^2 -y^2)$ e come vincolo $D= x^2 / 4 + y^2 / 9 <=1 $
Ottengo come dominio di f -> x< -y e x>y .
Ora secondo me il vincolo è compatto (abbiamo un segno di minore o uguale quindi comprende sia la frontiera che tutto l'interno dell'ellisse) quindi è applicabile Weierstrass,e procedo normalmente con il metodo di Lagrange.
La mia amica invece scrive che non è un insieme compatto (perchè ???). poi si ricava dall'equazione dell'ellisse la $x^2$ in funzione del resto, e la va a sostituire nel valore della funzione, e trova l'espressione in funzione di $y^2$.
Poi fa lo ricerca normale dei massimi e minimi con lo studio della derivata.
Ma perchè ?? Io questo procedimento lo uso quando ho ad esempio una figura come un quadrato o un triangolo ...
Inoltre in un altro esercizio ho visto che esclude fra i candidati come estremi vincolati di un triangolo, i suoi vertici, dicendo che non sono differenziabili ... questo perchè? Perchè i relativi lati hanno coefficiente angolare diverso? Eppure mi capitano esercizi in cui ho un quadrato/rettangolo come vincolo, e gli estremi vincolati sono proprio sui vertici.
2) In altri esercizi, ad esempio quando ho $f(x,y) = 1/(4y^2 +10) $ con vincolo $ D = |2-x| <=1 e | 4+y| <=2$ , ci ritroviamo un rettangolo come vincolo, quindi esaminiamo i vari lati e mi dice che siccome la funzione è sempre crescente (ma come fa a vederlo, a occhio ??? la studia??) , gli estremi saranno sugli estremi del rettangolo ...
Ve lo chiedo perchè nel vedere lo svolgimento di alcuni esercizi di una collega di università, sono rimasta un po' spaesata.
Ho $f(x,y)= ln (x^2 -y^2)$ e come vincolo $D= x^2 / 4 + y^2 / 9 <=1 $
Ottengo come dominio di f -> x< -y e x>y .
Ora secondo me il vincolo è compatto (abbiamo un segno di minore o uguale quindi comprende sia la frontiera che tutto l'interno dell'ellisse) quindi è applicabile Weierstrass,e procedo normalmente con il metodo di Lagrange.
La mia amica invece scrive che non è un insieme compatto (perchè ???). poi si ricava dall'equazione dell'ellisse la $x^2$ in funzione del resto, e la va a sostituire nel valore della funzione, e trova l'espressione in funzione di $y^2$.
Poi fa lo ricerca normale dei massimi e minimi con lo studio della derivata.
Ma perchè ?? Io questo procedimento lo uso quando ho ad esempio una figura come un quadrato o un triangolo ...
Inoltre in un altro esercizio ho visto che esclude fra i candidati come estremi vincolati di un triangolo, i suoi vertici, dicendo che non sono differenziabili ... questo perchè? Perchè i relativi lati hanno coefficiente angolare diverso? Eppure mi capitano esercizi in cui ho un quadrato/rettangolo come vincolo, e gli estremi vincolati sono proprio sui vertici.
2) In altri esercizi, ad esempio quando ho $f(x,y) = 1/(4y^2 +10) $ con vincolo $ D = |2-x| <=1 e | 4+y| <=2$ , ci ritroviamo un rettangolo come vincolo, quindi esaminiamo i vari lati e mi dice che siccome la funzione è sempre crescente (ma come fa a vederlo, a occhio ??? la studia??) , gli estremi saranno sugli estremi del rettangolo ...
Risposte
"Yumina92":
Ho $f(x,y)= ln (x^2 -y^2)$ e come vincolo $D= x^2 / 4 + y^2 / 9 <=1 $
Ottengo come dominio di f -> x< -y e x>y .
Ora secondo me il vincolo è compatto (abbiamo un segno di minore o uguale quindi comprende sia la frontiera che tutto l'interno dell'ellisse) quindi è applicabile Weierstrass,e procedo normalmente con il metodo di Lagrange.
La mia amica invece scrive che non è un insieme compatto (perchè ???)
Allora... spero di non dire stupidaggini, se mi sbaglio correggimi.
ho provato a farmi un disegno e ho trovato che l'area che ci interessa non è tutta l'ellissi; la funzione non è definita su tutto il piano: devo disegnarmi le bisettrici di tutti i quadranti e considerare i due angoli opposti al vertice, l'origine che poi è esclusa, no?, che contengono l'asse x. La figura che mi viene sembra una coppia di ali dove i margini rettilinei, parti delle bisettrici, sono tratteggiati (vuol dire frontiera esclusa), mentre il contorni curvilinei, parti dell'ellissi, sono continui (cioè frontiera inclusa).
Ripassando un po' di topologia: non è aperto, non è chiuso, non è connesso (manca il puntino dell'origine, giusto?)...
Aaahhh adesso ho capito! Però per esempio, in questo esercizio specifico mi chiedeva anche di farmi il grafico e studiare il dominio ... devo farmi questo grafico in ogni caso ?? Perchè tante volte ci sono delle funzioni un po' impossibili!
"Yumina92":
Aaahhh adesso ho capito! Però per esempio, in questo esercizio specifico mi chiedeva anche di farmi il grafico e studiare il dominio ... devo farmi questo grafico in ogni caso ?? Perchè tante volte ci sono delle funzioni un po' impossibili!
Parli del grafico della funzione
$f(x;y)=ln(x^2-y^2)$?
"Yumina92":
2) In altri esercizi, ad esempio quando ho $f(x,y) = 1/(4y^2 +10) $ con vincolo $ D = |2-x| <=1 e | 4+y| <=2$ , ci ritroviamo un rettangolo come vincolo, quindi esaminiamo i vari lati e mi dice che siccome la funzione è sempre crescente (ma come fa a vederlo, a occhio ??? la studia??) , gli estremi saranno sugli estremi del rettangolo ...
Ci provo ma potrei prendere un granchio gigantesco!
senza studiare nulla solo disegnando il rettangolo - vertici $A(1;-2) B(3;-2) C(1;-6) D(3;-6)$, IV quadrante - dico che i punti dove la funzione ha il valore più grande sono quelli del lato $AB$ e quelli dove ha il valore più piccolo quelli del lato $DC$.
Mmm e fin qui ci siamo.
Ma come faccio a dire che quella funzione fratta è crescente ?
Ma come faccio a dire che quella funzione fratta è crescente ?
"Yumina92":
Ma come faccio a dire che quella funzione fratta è crescente ?
Allora... al denominatore abbiamo $y^2+10$, mentre al numeratore abbaimo 1. Se ci muoviamo da valori di y negativi ma molto grandi in valore assoluto, avremo al numeratore un numero positivo molto grande, di conseguenza la nostra funzione sarà prossima allo 0. Via via che ci avviciniamo all'asse x diminuisce il valore del denominatore e il valore della nostra funzione cresce fino a valere al massimo $1/10$ in corrispondenza dell'asse x, per poi ricominciare a scendere nel I e II quadrante. Se mi devo immaginare questa funzione vedo una increspatura sopra l'asse x con ai lati due versanti che degradano verso quota 0 man mano che aumenta la distanza dall'asse x.
Ok credo di aver capito.
Per il fatto del compatto sono andata a chiederlo alla prof e ho capito tutto
Per il fatto del compatto sono andata a chiederlo alla prof e ho capito tutto
"Yumina92":
Per il fatto del compatto sono andata a chiederlo alla prof e ho capito tutto
Mi fa piacere, io invece ho tanti dubbi: ti dispiace se faccio qualche esempio così che tu possa correggermi?
1) $D={(x;y)in RR^2,|x|<=1 \wedge |y|<=1 }$ è compatto
2) $D={(x;y)in RR^2,|x|<1 \wedge |y|<=1 }$ non è compatto
3) $D={(x;y)in RR^2,|x|<=1 \wedge |y|>=1 } $ non è compatto
4) $D={(x;y)in RR^2, x^2+y^2<=9 \wedge y<=1/x} $ è compatto
Beh magari chiedilo a qualcun'altro perchè come vedi io ho i tuoi stessi dubbi!
La prof mi ha detto che se si osservano i vincoli separatamente, si capisce bene se sono compatti o meno, male che vada ci si fa il disegno.
Se invece ho un esercizio come quello che ho postato io, devi disegnare il dominio della funzione e il grafico del vincolo, e da li si vede che si ottiene un "contorno" formato dalla frontiera dell'ellisse, ma le frontiere delle due rette sono escluse, quindi non è un compatto...
Per quelli che hai postato tu, secondo me il primo è compatto, il secondo no perchè appunto due frontiere sono escluse, il terzo non è compatto, il quarto è compatto perchè intersecando la circonferenza e l'iperbole tutte le frontiere sono comprese! Quindi ok !
La prof mi ha detto che se si osservano i vincoli separatamente, si capisce bene se sono compatti o meno, male che vada ci si fa il disegno.
Se invece ho un esercizio come quello che ho postato io, devi disegnare il dominio della funzione e il grafico del vincolo, e da li si vede che si ottiene un "contorno" formato dalla frontiera dell'ellisse, ma le frontiere delle due rette sono escluse, quindi non è un compatto...
Per quelli che hai postato tu, secondo me il primo è compatto, il secondo no perchè appunto due frontiere sono escluse, il terzo non è compatto, il quarto è compatto perchè intersecando la circonferenza e l'iperbole tutte le frontiere sono comprese! Quindi ok !
"Yumina92":
[...] Ora secondo me il vincolo è compatto (abbiamo un segno di minore o uguale quindi comprende sia la frontiera che tutto l'interno dell'ellisse) quindi è applicabile Weierstrass, e procedo normalmente con il metodo di Lagrange. [...]
@Yumina92: Il tuo metodo mi lascia un po' perplesso: i moltiplicatori di Lagrange si utilizzano su vincoli espressi mediante zeri di una funzione di classe \(\mathcal{C}^1\) (cfr. pag. 154 di Analisi Matematica II, Enrico Giusti)... Io distinguerei quindi i due casi: interno + frontiera. Visto che l'interno è un aperto, puoi ivi utilizzare i soliti strumenti (studio di jacobiana + hessiana), mentre per la frontiera ti servi dei moltiplicatori, e quindi metti insieme il tutto.
Se poi il dominio della funzione frammenta ulteriormente l'insieme preso in esame (e mi pare questo il caso), si procede per sottocasi...
Beh la prof ha sempre fatto così. Per trovare punti interni, uso il gradiente e poi li classifico con la Hessiana, per quelli sulla frontiera uso i moltiplicatori, o la parametrizzazione ...
Ok, ma questo modus operandi non si evinceva dalla parte che ho quotato e sottolineato. Tutto qui.
Ahhhh scusa scusa
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