Estremi vincolati con vincolo di <=
Salve a tutti.
E' un po' che vi leggo, ma è la prima volta che vi scrivo.
Ho un problema d'esame che non sono in grado di risolvere. Vi riporto il testo integrale:
Ora, chiaramente non voglio che risolviate il problema al posto mio. Vorrei che mi spiegaste o mi segnalaste del materiale su come si risolvono questi tipi di problemi. In particolare, sono a conoscenza del metodo dei moltiplicatori di Lagrange (per funzioni di 2 variabili) e di come si applica per vincoli di uguaglianza. Quello che non so è come si applica a funzioni di 3 variabili (ma ho visto che in rete si trovano buone spiegazioni), ma soprattutto come si applica a vincoli diversi dall'uguaglianza.
Una soluzione che avevo in mente era quella di porre z in funzione di x e y (applicando il teorema del Dini) nel vincolo e sostituirla nella funzione, dopo di ché calcolare gli estremi liberi della nuova funzione ristretta al vincolo. Tuttavia si pone sempre il problema che sto trattando una disuguaglianza.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto che saprete darmi!
E' un po' che vi leggo, ma è la prima volta che vi scrivo.
Ho un problema d'esame che non sono in grado di risolvere. Vi riporto il testo integrale:
Ora, chiaramente non voglio che risolviate il problema al posto mio. Vorrei che mi spiegaste o mi segnalaste del materiale su come si risolvono questi tipi di problemi. In particolare, sono a conoscenza del metodo dei moltiplicatori di Lagrange (per funzioni di 2 variabili) e di come si applica per vincoli di uguaglianza. Quello che non so è come si applica a funzioni di 3 variabili (ma ho visto che in rete si trovano buone spiegazioni), ma soprattutto come si applica a vincoli diversi dall'uguaglianza.
Una soluzione che avevo in mente era quella di porre z in funzione di x e y (applicando il teorema del Dini) nel vincolo e sostituirla nella funzione, dopo di ché calcolare gli estremi liberi della nuova funzione ristretta al vincolo. Tuttavia si pone sempre il problema che sto trattando una disuguaglianza.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto che saprete darmi!
Risposte
Direi che non c'é bisogno di molte spiegazioni, semplicemente si applicano i moltiplicatori di Lagrange.
Se ci sono 3 variabili, useremo 3 variabili.
Nel tuo caso devi costruire l'espressione
[tex]x^2+y^2+z^2-xy-2z+1-\lambda (x^2+y^2+z^2-4)[/tex]
Quindi ricavi le derivate parziali di tutte le variabili e le metti a zero $f_x=0$, $f_y=0$, $f_z=0$, $f_{\lambda}=0$.
Quindi si procede coi calcoli....
Ovviamente questa procedura ti trova i massimi e i minimi SOLO sulla superficie della sfera.
Occhio che tu hai una semisfera (sotto è chiusa da un area piana) e occhio che hai un bordo a spigolo che unisce la semisfera al "coperchio" sotto (il piano).
I massimi/minimi possono trovarsi dovunque.
Occhio anche ai flessi. Insomma, ce n'è da fare.
Poi ci possono essere i massimi interni al volume e quelli te li trovi "normalmente"..... (normalmente ?
)
Se ci sono 3 variabili, useremo 3 variabili.
Nel tuo caso devi costruire l'espressione
[tex]x^2+y^2+z^2-xy-2z+1-\lambda (x^2+y^2+z^2-4)[/tex]
Quindi ricavi le derivate parziali di tutte le variabili e le metti a zero $f_x=0$, $f_y=0$, $f_z=0$, $f_{\lambda}=0$.
Quindi si procede coi calcoli....
Ovviamente questa procedura ti trova i massimi e i minimi SOLO sulla superficie della sfera.
Occhio che tu hai una semisfera (sotto è chiusa da un area piana) e occhio che hai un bordo a spigolo che unisce la semisfera al "coperchio" sotto (il piano).
I massimi/minimi possono trovarsi dovunque.
Occhio anche ai flessi. Insomma, ce n'è da fare.
Poi ci possono essere i massimi interni al volume e quelli te li trovi "normalmente"..... (normalmente ?
)
"Quinzio":
Occhio che tu hai una semisfera (sotto è chiusa da un area piana) e occhio che hai un bordo a spigolo che unisce la semisfera al "coperchio" sotto (il piano).
I massimi/minimi possono trovarsi dovunque.
Occhio anche ai flessi. Insomma, ce n'è da fare.
Poi ci possono essere i massimi interni al volume e quelli te li trovi "normalmente"..... (normalmente ?
Grazie per la risposta. Potresti spiegarmi meglio in che modo studio i massimi e i minimi sul "bordo a spigolo" e sul "coperchio sotto"?
E, inoltre, in che senso posso trovare i massimi e i minimi interni "normalmente"? Basta porre le derivate prime uguali a zero e considerare solo i punti critici interni al volume???
Grazie mille e scusa ancora per il disturbo
!
Il metodo canonico "sfizioso" consiste nell'utilizzare le condizioni di Kuhn - Tucker. Che è la versione dei moltitplicatori di Lagrange in presenza di vincoli di disuguaglianza.
Anche se poi, alla fin fine, non è molto diverso dall'usare Lagrange (anche perché ti si chiedono max e min assoluti, immagino). NB: i flessi non ti interessano, in questo esercizio. E, di solito, non interessano per le funzioni di più variabili (sarebbe interessante sapere la definizione di punto di flesso, tra l'altro, per funzioni di più variabili).
Qui a pag 8 trovi un esercizio simile al tuo, svolto:
http://www.diptem.unige.it/patrone/RO_I ... 009_10.pdf
Puoi anche dare un'occhiata "in generale" a questi appunti. Non sono una dispensa, sono una sorta di diario sbrodolato delle lezioni.
Anche se poi, alla fin fine, non è molto diverso dall'usare Lagrange (anche perché ti si chiedono max e min assoluti, immagino). NB: i flessi non ti interessano, in questo esercizio. E, di solito, non interessano per le funzioni di più variabili (sarebbe interessante sapere la definizione di punto di flesso, tra l'altro, per funzioni di più variabili).
Qui a pag 8 trovi un esercizio simile al tuo, svolto:
http://www.diptem.unige.it/patrone/RO_I ... 009_10.pdf
Puoi anche dare un'occhiata "in generale" a questi appunti. Non sono una dispensa, sono una sorta di diario sbrodolato delle lezioni.
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