Estremi vincolati
un anello metallico si muove senza attrito lungo un filo piano $ \gamma $ di equazione y = (x+4)^3 sotto l'azione della forza centrale $ F(x,y) = -x/(sqrt(x^2+y^2))i -y/(sqrt(x^2+y^2))j $.
trovare il punto di equilibrio stabile.
il punto di eq stabile è quello in cui l'energia potenziale è minima, quindi ci si riconduce a un problema di estremi vincolati.
va tutto bene quando mi trovo il punto critico coi moltiplicatori di lagrange (x = -3), ma non so come fare per far vedere che è effettivamente di minimo. qualche suggerimento?
trovare il punto di equilibrio stabile.
il punto di eq stabile è quello in cui l'energia potenziale è minima, quindi ci si riconduce a un problema di estremi vincolati.
va tutto bene quando mi trovo il punto critico coi moltiplicatori di lagrange (x = -3), ma non so come fare per far vedere che è effettivamente di minimo. qualche suggerimento?
Risposte
non si tratta di estremi vincolati,moltiplicatore di Lagrange ma di forme differenziali cioe'
$ int_( \gamma)^( ) \omega= int_( \gamma)^( )F_1dx+F_2dy$
$ int_( \gamma)^( ) \omega= int_( \gamma)^( )F_1dx+F_2dy$
Ad occhio l'energia dovrebbe essere la norma di [tex]$(x,y)$[/tex], ossia [tex]$E(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$[/tex].
Le curve di livello dell'energia, ossia quelle d'equazione [tex]$E(x,y)=k$[/tex], si ottengono con [tex]$k\geq 0$[/tex] e sono circonferenze di centro [tex]$(0,0)$[/tex] (eventualmente degeneri nel punto [tex]$(0,0)$[/tex]), mentre il vincolo è la cubica [tex]$y=(x+4)^3$[/tex].
Disegnando un po' le cose si trova:
[asvg]xmin=-6;xmax=0;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
plot("(x+4)^3",-6,0);
stroke="red"; dot([0,0]); circle([0,0],3.16); circle([0,0],1); circle([0,0],2); circle([0,0],4);
stroke="blue"; marker="arrow"; line([0,0],[-5,-3]);[/asvg]
in cui il vincolo è in nero, le curve di livello dell'energia sono in rosso ed in blu è la direzione d'avanzamento delle curve di livello al crescere di [tex]$k$[/tex].
Dal grafico si vede che [tex]$(-3,1)$[/tex] è il punto di minimo assoluto per l'energia sul vincolo, l'energia minima essendo [tex]$\sqrt{10}$[/tex].
Le curve di livello dell'energia, ossia quelle d'equazione [tex]$E(x,y)=k$[/tex], si ottengono con [tex]$k\geq 0$[/tex] e sono circonferenze di centro [tex]$(0,0)$[/tex] (eventualmente degeneri nel punto [tex]$(0,0)$[/tex]), mentre il vincolo è la cubica [tex]$y=(x+4)^3$[/tex].
Disegnando un po' le cose si trova:
[asvg]xmin=-6;xmax=0;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
plot("(x+4)^3",-6,0);
stroke="red"; dot([0,0]); circle([0,0],3.16); circle([0,0],1); circle([0,0],2); circle([0,0],4);
stroke="blue"; marker="arrow"; line([0,0],[-5,-3]);[/asvg]
in cui il vincolo è in nero, le curve di livello dell'energia sono in rosso ed in blu è la direzione d'avanzamento delle curve di livello al crescere di [tex]$k$[/tex].
Dal grafico si vede che [tex]$(-3,1)$[/tex] è il punto di minimo assoluto per l'energia sul vincolo, l'energia minima essendo [tex]$\sqrt{10}$[/tex].
ah, mi pare d'aver capito adesso: maggiore è il raggio della circonferenza, maggiore è l'energia. se aumento l'energia oltre la radice di 10, la circonferenza interseca sempre il vincolo. inoltre l'energia in tutti gli altri punti del vincolo è maggiore di radice di 10, per cui ricavo che in (-3,1) ho un minimo.. era più ovvio di quanto pensassi però mi ero bloccato, ti ringrazio
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