Estremi vincolati

[enr87]

trovare gli estremi assoluti della funzione $ f(x,y,z) = x^2 - y^2 + z $ in $ A = {(x,y,z) in R^3 | -2+x^2+y^2 <= z <= 2-x^2-y^2} $

questo è un esercizio svolto in classe, ma non capisco perchè, una volta determinato che $nabla f ne 0 forall (x,y,z) $, si deduce che i punti di estremo stanno sulla frontiera di A..

[dissonance]

Da qualche parte devono stare, no? Perchè $A$ è compatto e $f$ è continua. Ma non possono stare nell'interno di $A$ perché altrimenti sarebbero punti critici.

[enr87]

forse ho capito, dimmi se faccio giusto: tu vedi che quella funzione è differenziabile per il t del differenziale totale, e sappiamo che ha max e min perchè è continua e definita su un compatto. allora nei punti interni di estremo il gradiente deve annullarsi. visto che questo non succede, allora deduci che stanno sulla frontiera.. ma la chiave di volta sta nel fatto che f è differenziabile dunque?

[dissonance]

Eh si. Se $f$ avesse dei punti di non differenziabilità avrebbe potuto assumere un estremo anche in uno di quelli, oltre che sulla frontiera di $D$. Per farti un esempio in una dimensione, $|x|$ assume il proprio minimo globale in $0$ che è un punto di non differenziabilità; nei punti in cui è differenziabile ha il differenziale ovunque non nullo (ricordati che in una dimensione il concetto di differenziabilità e quello di derivabilità coincidono).

[enr87]

ok grazie!