Estremi vincolati
ciao a tutti!!! volevo una grande mano a risolvere questo esercizio: devo strovare massimi e minimi di
$ f(x,y)=(2x-y)^3$
avendo $ 9x^2+4y^2\leq36 $
facendo le derivate parziali per trovare gli estremi liberi mi viene un sistema impossibile, se applico la lagrangiana non ne parliamo! dove sbaglio?
$ f(x,y)=(2x-y)^3$
avendo $ 9x^2+4y^2\leq36 $
facendo le derivate parziali per trovare gli estremi liberi mi viene un sistema impossibile, se applico la lagrangiana non ne parliamo! dove sbaglio?
Risposte
Ciao memol8,
... che significa poi $9x^2 + 4y^2 = 0$, dato che la somma di due quadrati non può mai essere negativa, ma al più nulla (cosa che accade se $x = y = 0$).
"memol8":
avendo $9x^2 + 4y^2 \le 0$
... che significa poi $9x^2 + 4y^2 = 0$, dato che la somma di due quadrati non può mai essere negativa, ma al più nulla (cosa che accade se $x = y = 0$).
ciao!!! ^-^! quindi come procedo?
Procederei con la funzione lagrangiana:
[tex]\cal{L}(x, y, \lambda) := f(x, y) - \lambda g(x, y)[/tex] $= (2x-y)^3 - \lambda(9x^2 + 4y^2) $
[tex]\begin{equation}
\begin{cases}
\cal{L}_x (x, y, \lambda) = 0 \\
\cal{L}_y (x, y, \lambda) = 0 \\
\cal{L}_{\lambda} (x, y, \lambda) = 0
\end{cases}
\end{equation}[/tex]
[tex]\cal{L}(x, y, \lambda) := f(x, y) - \lambda g(x, y)[/tex] $= (2x-y)^3 - \lambda(9x^2 + 4y^2) $
[tex]\begin{equation}
\begin{cases}
\cal{L}_x (x, y, \lambda) = 0 \\
\cal{L}_y (x, y, \lambda) = 0 \\
\cal{L}_{\lambda} (x, y, \lambda) = 0
\end{cases}
\end{equation}[/tex]
ecco il mio esaurimento si vede dal mattino.... scusa perdonami ma ho sbagliato era minore uguale di 36 non d zero!!! vado a correggere nella traccia!!!
Ah, beh, allora è diverso... 
$9x^2 + 4y^2 \le 36 \implies frac{x^2}{2^2} + frac{y^2}{3^2} \le 1 $
perciò si tratta dei punti interni all'ellisse di equazione $frac{x^2}{2^2} + frac{y^2}{3^2} = 1 $. Per questi fai come al solito, con la tecnica delle derivate parziali uguali a $0$ e poi con l'Hessiano. Per i punti di frontiera, cioè quelli sull'ellisse, procedi con la funzione lagrangiana:
[tex]\cal{L}(x, y, \lambda) := f(x, y) - \lambda g(x, y) =[/tex] $ (2x-y)^3 - \lambda(frac{x^2}{2^2} + frac{y^2}{3^2} - 1)$
[tex]\begin{equation}
\begin{cases}
\cal{L}_x (x, y, \lambda) = 0 \\
\cal{L}_y (x, y, \lambda) = 0 \\
\cal{L}_{\lambda} (x, y, \lambda) = 0
\end{cases}
\end{equation}[/tex]
$9x^2 + 4y^2 \le 36 \implies frac{x^2}{2^2} + frac{y^2}{3^2} \le 1 $
perciò si tratta dei punti interni all'ellisse di equazione $frac{x^2}{2^2} + frac{y^2}{3^2} = 1 $. Per questi fai come al solito, con la tecnica delle derivate parziali uguali a $0$ e poi con l'Hessiano. Per i punti di frontiera, cioè quelli sull'ellisse, procedi con la funzione lagrangiana:
[tex]\cal{L}(x, y, \lambda) := f(x, y) - \lambda g(x, y) =[/tex] $ (2x-y)^3 - \lambda(frac{x^2}{2^2} + frac{y^2}{3^2} - 1)$
[tex]\begin{equation}
\begin{cases}
\cal{L}_x (x, y, \lambda) = 0 \\
\cal{L}_y (x, y, \lambda) = 0 \\
\cal{L}_{\lambda} (x, y, \lambda) = 0
\end{cases}
\end{equation}[/tex]
Oppure notando che l'elevamento al cubo è monotona, ti puoi studiare solo $2x-y$, e elevare al cubo i massimi e i minimi che trovi per trovare quelli del tuo problema, inoltre, visto che le linee di livello sono rette parallele e il dominio è un'ellisse, puoi studiarti il massimo e il minimo trovando le rette tangenti all'ellisse.
vi ringrazio infinitamente *-*!
"pilloeffe":
Ah, beh, allora è diverso...
$9x^2 + 4y^2 \le 36 \implies frac{x^2}{2^2} + frac{y^2}{3^2} \le 1 $
perciò si tratta dei punti interni all'ellisse di equazione $frac{x^2}{2^2} + frac{y^2}{3^2} = 1 $. Per questi fai come al solito, con la tecnica delle derivate parziali uguali a $0$ e poi con l'Hessiano. Per i punti di frontiera, cioè quelli sull'ellisse, procedi con la funzione lagrangiana:
[tex]\cal{L}(x, y, \lambda) := f(x, y) - \lambda g(x, y) =[/tex] $ (2x-y)^3 - \lambda(frac{x^2}{2^2} + frac{y^2}{3^2} - 1)$
[tex]\begin{equation}
\begin{cases}
\cal{L}_x (x, y, \lambda) = 0 \\
\cal{L}_y (x, y, \lambda) = 0 \\
\cal{L}_{\lambda} (x, y, \lambda) = 0
\end{cases}
\end{equation}[/tex]
quando faccio la tecnica delle derivate parziali il sistema si annulla come mai?
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