Estremi Vincolati
Salve a tutti potreste aiutarmi con questo esercizio. Io non riesco a capire come comportarmi quando impongo $ grad f=0 $ in quanto ottengo $ 2x^2+2y^2-5=0 $ e quindi tutti i punti della circ soddisfano $ grad f=0 $. La circonferenza è interna al vincolo che mi da il problema.
Grazie mille in anricipo.
Il testo dell'esercizio è questo:
Data la funzione $ f(x,y)=(x^2+y^2-4)(x^2+y^2-1) $ determinare i punti di stazionarietà nell insieme $ D=[-2,2]xx [-2,2] $
Grazie mille in anricipo.
Il testo dell'esercizio è questo:
Data la funzione $ f(x,y)=(x^2+y^2-4)(x^2+y^2-1) $ determinare i punti di stazionarietà nell insieme $ D=[-2,2]xx [-2,2] $
Risposte
Perfetto fin qui ho ottenuto le stesse conclusioni. Ma adesso come faccio a capire di che natura sono i punti che appartengono alla circonferenza $ x^2+y^2=5/2 $ ?? Grazie per l'aiuto TeM
Scusami TeM forse mi sono espresso male.Volevo intendere come faccio a capire se i punti sulla circonferenza sono Massimi Minimi o pti di Sella?. Per il punto $ A(0,0) $ ho studiato il determinante della matrice Hessiana deducendo che il punto considerato è un pto di Massimo. Non so come fare per i punti della circonferenza tuttavia.
Il mio errore sta nel fatto di non aver postato il testo dell'intero esercizio scusami.
Il testo per intero è questo:
Data la funzione $ f:Esub R^2 rarr R $ ,definita da $ f(x,y)=(x^2+y^2-4)(x^2+y^2-1) $ ,determinare i punti di stazionarietà nell'insieme $ D=[-2,2]xx [-2,2] $. Classificare i punti di stazionarietà ottenuti e, quindi, determinare $ f(D)sub R $ . Riconoscere che $ f(D)=[m,M] $ dove, rispettivamente, m ed M indicano il minimo ed il massimo valore assunto da f in D.
Forse ho interpretato male io l 'esercizio ma quando mi chiede classificare i punti di stazionarietà ottenuti vuole sapere se sono Max Min o pti di Sella giusto? Scusami per non aver postato l'intero ex.
Il testo per intero è questo:
Data la funzione $ f:Esub R^2 rarr R $ ,definita da $ f(x,y)=(x^2+y^2-4)(x^2+y^2-1) $ ,determinare i punti di stazionarietà nell'insieme $ D=[-2,2]xx [-2,2] $. Classificare i punti di stazionarietà ottenuti e, quindi, determinare $ f(D)sub R $ . Riconoscere che $ f(D)=[m,M] $ dove, rispettivamente, m ed M indicano il minimo ed il massimo valore assunto da f in D.
Forse ho interpretato male io l 'esercizio ma quando mi chiede classificare i punti di stazionarietà ottenuti vuole sapere se sono Max Min o pti di Sella giusto? Scusami per non aver postato l'intero ex.
Perfetto. Scusami se mi prolungo ancora. Io sono arrivato allo stesso risultato parametrizzando la circonferenza in questo modo:
$ gamma (t)={ ( x=sqrt(5/2)*cos(t) ),( y=sqrt(5/2)*sin(t)):} $ ho calcolato $ f(gamma(t))=-9/4 rArr f'(gamma(t))-= 0 $ tuttavia così so solamente che ho tutti pti di max o min. Come hai fatto a dire che $ -9/4<= f(x,y) $ $ AA (x,y)in R^2 $ ?
$ gamma (t)={ ( x=sqrt(5/2)*cos(t) ),( y=sqrt(5/2)*sin(t)):} $ ho calcolato $ f(gamma(t))=-9/4 rArr f'(gamma(t))-= 0 $ tuttavia così so solamente che ho tutti pti di max o min. Come hai fatto a dire che $ -9/4<= f(x,y) $ $ AA (x,y)in R^2 $ ?
OK perfetto 
. Solo un ultima cosa. Per verifica ho provato a calcolare l'Hessiano per un generico pto della circonferenza $ (sqrt(5/2)cost,sqrt(5/2)sint) $
La mia matrice Hessiana è : $ (( 12x^2+4y^2-10 , 8xy ),( 8xy , 12y^2+4x^2-10 ) ) $ il cui determinante per $ { ( x=sqrt(5/2)cost ),( y=sqrt(5/2)sint ):} $ risulta $ (20cos^2t-9)*(20sin^2t-9)-40sint*cost $ che dovrebbe essere $ > 0 AAt$ ma non è così. Sapresti spiegarmi perché?
. Solo un ultima cosa. Per verifica ho provato a calcolare l'Hessiano per un generico pto della circonferenza $ (sqrt(5/2)cost,sqrt(5/2)sint) $La mia matrice Hessiana è : $ (( 12x^2+4y^2-10 , 8xy ),( 8xy , 12y^2+4x^2-10 ) ) $ il cui determinante per $ { ( x=sqrt(5/2)cost ),( y=sqrt(5/2)sint ):} $ risulta $ (20cos^2t-9)*(20sin^2t-9)-40sint*cost $ che dovrebbe essere $ > 0 AAt$ ma non è così. Sapresti spiegarmi perché?
Ho trovato l'errore grazie per la correzione .Arrivederci e grazie TeM
.Arrivederci e grazie TeM
Scusate se riuppo la discussione, ma facendo delle prove d'esame mi è capitato un esercizio con lo stesso testo am differente funzione. Il mio dubbio aldilà della ricerca dei punti stazionari riguarda questa parte :
"Classificare i punti di stazionarietà ottenuti e, quindi, determinare \(f(D)\) $sub$ \(R\). Riconoscere che \(f(D)=[m,M]\) dove, rispettivamente, m ed M indicano il minimo ed il massimo valore assunto da f in D."
Non capisco cosa intenda quando dice di determinare la funzione dell'insieme D. Mentre per riconoscere la seconda parte io pensavo di trovare gli estremi vincolati alla frontiera dell'insieme D parametrizzandolo e dopodichè riconoscere semplicemente se siano massimi o minimi, non sono però convinto che questo mi dia la certezza che questi valori siano effettivamente gli estremi dell'immagine di f nell'insieme D, sempre ammesso che abbia capito cosa chiede nella seconda parte dell'esercizio
"Classificare i punti di stazionarietà ottenuti e, quindi, determinare \(f(D)\) $sub$ \(R\). Riconoscere che \(f(D)=[m,M]\) dove, rispettivamente, m ed M indicano il minimo ed il massimo valore assunto da f in D."
Non capisco cosa intenda quando dice di determinare la funzione dell'insieme D. Mentre per riconoscere la seconda parte io pensavo di trovare gli estremi vincolati alla frontiera dell'insieme D parametrizzandolo e dopodichè riconoscere semplicemente se siano massimi o minimi, non sono però convinto che questo mi dia la certezza che questi valori siano effettivamente gli estremi dell'immagine di f nell'insieme D, sempre ammesso che abbia capito cosa chiede nella seconda parte dell'esercizio
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