Estremi sup/inf

[DavideV1]

Avendo due insiemi disgiunti $A={x \in R : -1<=x< 1}$ e $B={x \in R : 1
Quello che non capisco è se gli elementi compresi nell'intervallo tra i due insiemi vanno o non vanno considerati quando si uniscono due insiemi disgiunti.

Grazie!

[dissonance]

vediamo se ho capito la domanda: tu dici, ad esempio, se abbiamo $X={0<=x<=1}, Y={2<=x<+\infty}$, l'intervallo $(1,2)$ è contenuto in $XuuY$? Se il problema è questo la risposta è no.
E per quanto riguarda gli estremi superiore e inferiore, hai che $"sup"\ AuuB=max{"sup"\ A, "sup"\ B}$ (analogamente, $"inf"\ AuuB=min{"inf"\ A, "inf"\ B}$). La dimostrazione è veloce se sai un po' di topologia: il $"sup"$ di un insieme $X$ è l'intersezione tra l'insieme dei maggioranti e la chiusura di $X$. Se $X=AuuB$, il numero $max{"sup"\ A, "sup"\ B}$ è chiaramente un maggiorante di $X$ e inoltre appartiene ad almeno una tra le chiusure di A e di B. Essendo la chiusura di $X$ esattamente l'unione delle chiusure di $A$ e di $B$, hai che $max{"sup"\ A, "sup"\ B}$ appartiene alla chiusura di $X$, è un suo maggiorante, e perciò è il $"sup"\ X$.

[DavideV1]

Ma l'estremo, quando esiste, è unico. Come fa ad esistere un elemento che sia contemporaneamente estremo di due insiemi differenti?

Non capisco inoltre perché esprimi $max{"sup"A, "sup"B}$ come insieme di più elementi... Quando esistono, sia il massimo che l'estremo sono unici.

[dissonance]

Con la scrittura $max{"sup"\ A, "sup"\ B}$ voglio dire: il massimo dell'insieme numerico composto dal sup A e dal sup B. E per quanto riguarda l'altro problema siamo d'accordissimo: il sup quando esiste è unico. Infatti, detto $X=AuuB$, il sup dell'insieme X è unico, ed è il massimo tra il sup A e il sup B.

[DavideV1]

Ah ok, ora ho capito... quindi molto semplicemente l'estremo superiore (inferiore) è il massimo (minimo) tra gli estremi dei due insiemi uniti.

Quando invece gli estremi sono intersecati la cosa si semplifica ancora di più...

Grazie!