Estremi relativi, quando derivata prima mai nulla.

[Danying]

Salve, se era possibile chiedo un chiarimento riguardo un "semplice" quesito di analisi.

pratiacamente ho la funzione $arctan[1-|logx|)$
su cui devo studiare gli eventuali estremi relativi e assoluti e gli eventuali punti di non derivabilità.

nel dominio $[1/e , e ]$ ;

in teoria gli estremi relativi sono i valori y degli zeri delal derivata prima , che si sostituiamo alla derivata seconda.

ma in questo caso la derivata prima non si annulla mai . infatti:

edit): $1/ ( | logx |^2 - 2 |logx| + 2) *(|logx|)/(x(logx)) $ derivata prima .

Questo ci dice che la funzione è sempre derivabile in tale dominio , ma allora gli estremi relativi e/o assoluti come e dove vanno ricercati ?
calcolando la derivata seconda e non avendo gli zeri della derivata prima da sostituire...??.

grazie per gli eventuali chiarimenti, cordiali saluti.

[orazioster]

La derivata prima non è quella.
$"d"/("d"x)f(g(x))=("d"f)/("d"g)("d"g)/("d"x)$, ammettendo
le due derivate esistano.

Quindi devi moltiplicare la tua formula per la derivata di $(1-|logx|)$.

Il valore assoluto ha un punto di non derivabilità (quale?)

[Danying]

"orazioster":La derivata prima non è quella.
$"d"/("d"x)f(g(x))=("d"f)/("d"g)("d"g)/("d"x)$, ammettendo
le due derivate esistano.

Quindi devi moltiplicare la tua formula per la derivata di $(1-|logx|)$.

Il valore assoluto ha un punto di non derivabilità (quale?)

punto angoloso, di |x| è zero.

comunque.
la formula della derivata dell'arcotangente di f è $f'/(1+f^2)$ quindi $1/(1+(1-|logx|)^2) * (|logx|)/(xlogx)$

[gugo82]

Il problema è che calcoli male la derivata di [tex]$1-|\ln x|$[/tex].

[DajeForte]

"mat100":la formula della derivata dell'arcotangente di f è $f'/(1+f^2)$ quindi $1/(1+(1-|logx|)^2) * (|logx|)/(x(1-|logx|))$

Ma questo che sarebbe?

Comunque l'arcotangente è monotona crescente massimizza l'argomento.

[Zero87]

Secondo me c'è un problema nel calcolo della derivata di $1-|logx|$.

Quando applichi la formula della derivata del modulo, la funzione che consideri è la funzione che sta "dentro" il modulo e non tutta la funzione. In altre parole, se applichi la formula della derivata del modulo, è perché devi considerare $f(x)=logx$ e non $f(x)=1-logx$.

Cioè, mi spiego meglio: tu hai $arctg (g(x))$ e quando derivi hai $\frac{1}{1+g^2 (x)} \cdot g'(x)$.

Il problema è, dunque, calcolare $g'(x)$. Ma hai $g(x)=1-f(x)$ dove $f(x)=|logx|$ quindi la formula della derivata del modulo devi applicarla a questa $f(x)$ non a tutta la $1-|logx|$.

[Danying]

"Zero87":Secondo me c'è un problema nel calcolo della derivata di $1-|logx|$.

.

si infatti ho erroneamente considerato tutta la funzione , comunque adesso dovrebbe esser giusta, la formula che ho è questa quindi: $d|f(x)|= (|f(x)|)/(f(x)) * f'(x) $

[gugo82]

Non è vero che la funzione è sempre derivabile.
Cosa succede in [tex]$x=1$[/tex]?

(Questo è uno dei grandi casini che succedono quando si vuole a tutti i costi tenere in ballo il valore assoluto. Ma vabbé, è questione di abitudini...)

Ad ogni modo, si può fare lo studio della monotonia anche senza fare la derivata.
La funzione assegnata è composta da [tex]$\arctan y$[/tex] ed [tex]$1-|\ln x|$[/tex]; la componente esterna (ossia l'arcotangente) è strettamente crescente, ergo la funzione composta conserva la monotonia della componente interna (ossia della funzione logaritmica).
La componente interna è strettamente crescente per [tex]$0 Di conseguenza [tex]$x=1$[/tex] è punto di massimo assoluto (nonostante la funzione non sia derivabile in [tex]$1$[/tex]).
Il grafico è il seguente:
[asvg]xmin=0;xmax=6;ymin=-5;ymax=1;
axes("","");
plot("arctan(1-abs(log(x)))",0,7);[/asvg]
(la retta [tex]$x=0$[/tex] è asintoto verticale, anche se dal grafico non si capisce granché).

[Danying]

"gugo82":Non è vero che la funzione è sempre derivabile.
Cosa succede in [tex]$x=1$[/tex]?

(Questo è uno dei grandi casini che succedono quando si vuole a tutti i costi tenere in ballo il valore assoluto. Ma vabbé, è questione di abitudini...)

Ad ogni modo, si può fare lo studio della monotonia anche senza fare la derivata.
La funzione assegnata è composta da [tex]$\arctan y$[/tex] ed [tex]$1-|\ln x|$[/tex]; la componente esterna (ossia l'arcotangente) è strettamente crescente, ergo la funzione composta conserva la monotonia della componente interna (ossia della funzione logaritmica).
La componente interna è strettamente crescente per [tex]$0 Di conseguenza [tex]$x=1$[/tex] è punto di massimo assoluto (nonostante la funzione non sia derivabile in [tex]$1$[/tex]).
Il grafico è il seguente:
[asvg]xmin=0;xmax=6;ymin=-5;ymax=1;
axes("","");
plot("arctan(1-abs(log(x)))",0,7);[/asvg]
(la retta [tex]$x=0$[/tex] è asintoto verticale, anche se dal grafico non si capisce granché).

è la prima volta che vedo lo studio della monotonia senza far la derivata! Geniale!

gugo , un chiarimento sul termine estremo relativo : in questo caso l'estremo relativo/assoluto possiamo considerare $y= sim 1$ ?

grazie

[itpareid]

"mat100":in questo caso l'estremo relativo/assoluto possiamo considerare $y= sim 1$ ?

occhio!
i punti di max/min rel/ass su quale asse stanno?

[Danying]

"itpareid":[quote="mat100"]in questo caso l'estremo relativo/assoluto possiamo considerare $y= sim 1$ ?

occhio!
i punti di max/min rel/ass su quale asse stanno?[/quote]

sull'asse x.

ma io sto cercando testuali parole "Gli estremi relaviti/assoluti"

[itpareid]

sì appunto, non può essere $y=$qualcosa
o forse intendiamo due cose diverse...

[Danying]

"itpareid":sì appunto, non può essere $y=$qualcosa
o forse intendiamo due cose diverse...

si , praticamente da testo a testo si può incontrare tal volta un linguaggio diverso.

estremi relativi/assoluti sono i valori y dei punti di max/min relativi/assoluti.

il "problema" e che gugo è riuscito ad indicare correttamente la monotonia della funzione senza calcolare la derivata prima.... ma con tale metodo come faccio a calcolarmi gli eventuali punti di max e min e i corrispettivi estremi ???

di solito nelle funzioni "normali" , come sappiamo, si individuano grazie allo studio di $f'(x)>0$

ci tocca perforza di cose calcolarci la derivata ?

dietemi di no !

[Danying]

??

[adaBTTLS1]

non ho seguito in dettaglio tutta la discussione, ma mi pare che ci sia un equivoco di fondo sul concetto di max e min relativo.
se $x_0$ è un punto di max o min in un suo intorno, e non è max o min assoluto, come lo chiami?
ma questo può esistere non solo quando la derivata prima si annulla, ma anche quando non esiste.
l'esempio riportato da gugo ha, se non ricordo male, un max assoluto, ma con qualche aggiustamento (variando la funzione ad esempio nell'intorno dell'infinito), il max assoluto si trasforma in un max relativo che non è assoluto (non è un gioco di parole, il max assoluto è anche max relativo).
quando parli di studiare l'andamento della funzione attraverso la derivata, devi considerare in particolare punti isolati di non derivabilità per cui nell'intorno sinistro la derivata assume sempre un segno e nell'intorno destro il segno opposto. ...
spero di aver chiarito almeno qualche dubbio. prova a rifletterci su e facci sapere. ciao.

[Danying]

"adaBTTLS":non ho seguito in dettaglio tutta la discussione, ma mi pare che ci sia un equivoco di fondo sul concetto di max e min relativo.
se $x_0$ è un punto di max o min in un suo intorno, e non è max o min assoluto, come lo chiami?
ma questo può esistere non solo quando la derivata prima si annulla, ma anche quando non esiste.
l'esempio riportato da gugo ha, se non ricordo male, un max assoluto, ma con qualche aggiustamento (variando la funzione ad esempio nell'intorno dell'infinito), il max assoluto si trasforma in un max relativo che non è assoluto (non è un gioco di parole, il max assoluto è anche max relativo).
quando parli di studiare l'andamento della funzione attraverso la derivata, devi considerare in particolare punti isolati di non derivabilità per cui nell'intorno sinistro la derivata assume sempre un segno e nell'intorno destro il segno opposto. ...
spero di aver chiarito almeno qualche dubbio. prova a rifletterci su e facci sapere. ciao.

grazie per l'intervento.
be onde evitare equivoci. intanto non parlo di "punto di max/min $x_0$" ma dei corrispondenti valori y. Faccio un esempio con il massimo. Un massimo assoluto può essere definito come il più grande dei "massimi relativi" qualora ce ne siano più di uno nel generico dominio $[a , b] $ ; Ma qualora vi è un solo Max in $[a,b]$ io l'ho sempre definito assoluto.

ho ristudiato la funzione e soprattutto l'intervento di gugo riguardo l'andamento della funzione composta dall'arcotangente e dal valore assoluto del log. senza metter mano analiticamente a calcoli!

Ho capito perchè il punto $x_o=1$ è un punto di massimo assoluto e il corrispettivo $y= sim 0.78$ estremo assoluto.

grazie a tutti per i chiarimenti! in particolare Gugo!

[adaBTTLS1]

prego.
certo che il valore del max ... è il valore della y, o meglio è $f(x_0)$, se $x_0$ è quello che io ho chiamato punto di max ...
"il più grande dei massimi relativi" e definizioni analoghe sono corrette, l'unica cosa che andava chiarita è che ad esempio in un intervallo $[a,b]$ una funzione continua ammette certamente massimo e minimo assoluti (Weierstrass), ma questi possono essere assunti anche in punti interni all'intervallo (vedi che torniamo a parlare in termini di x!) nei quali la funzione non è derivabile. e all'interno dello stesso intervallo ci possono essere anche più (persino infiniti!) punti di non derivabilità che sono anche max o min relativi.

[Danying]

"adaBTTLS":prego.
e all'interno dello stesso intervallo ci possono essere anche più (persino infiniti!) punti di non derivabilità che sono anche max o min relativi.

è questo il punto che mi era sfuggito, l'ho studiato ovviamente in teoria... poi nello studio della generica funzione "mi butto erroneamente" subito al calcolo e al successivo studio (equazione ) delle derivate.... e capita che non ne esco più in funzioni "complesse" come queste.