Estremi relativi in una funzione con cuspide
Salve ragazzi, ecco il mio problema: ho la seguente funzione e ne devo calcolare gli estremi relativi. Dal grafico si deduce subito che la funzione presenta un punto cuspidale, per cui vorrei sapere come "ragionare" in questi casi.
La funzione è la seguente:
$ f(x) = arcsin((x^2-1) / (x^2+1) ) $
1. Calcando la derivata prima mi ritrovo
$ f'(x) = 2 / (x^2+1) $
mentre Wolframalpha me la calcola in questo modo...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=de ... %2B1%29%5D
(e già qui non ho capito il perché, in effetti è la stessa cosa ma Wolfram non semplifica...)
2. Imponendo la mia derivata uguale a zero ovviamente non trovo soluzioni e imponendo
$ f'(x) >= 0 hArr AA x in RR $
3. Ovviamente il punto di minimo (e quindi l'estremo relativo) è in x=0 e in questo caso è l'ascissa di un punto cuspidale. Ed ecco la mia domanda:
Come avrei fatto, senza grafico, a rendermi conto di essere in presenza di una cuspide? Seguendo i miei appunti avrei dovuto verificare la derivabilità della funzione in quel punto (x=0) e qui torna il problema delle due derivate sbagliate (con la mia derivata, f(x) è derivabile in 0, con la derivata trovatami da Wolframalpha no!)
La funzione è la seguente:
$ f(x) = arcsin((x^2-1) / (x^2+1) ) $
1. Calcando la derivata prima mi ritrovo
$ f'(x) = 2 / (x^2+1) $
mentre Wolframalpha me la calcola in questo modo...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=de ... %2B1%29%5D
(e già qui non ho capito il perché, in effetti è la stessa cosa ma Wolfram non semplifica...)
2. Imponendo la mia derivata uguale a zero ovviamente non trovo soluzioni e imponendo
$ f'(x) >= 0 hArr AA x in RR $
3. Ovviamente il punto di minimo (e quindi l'estremo relativo) è in x=0 e in questo caso è l'ascissa di un punto cuspidale. Ed ecco la mia domanda:
Come avrei fatto, senza grafico, a rendermi conto di essere in presenza di una cuspide? Seguendo i miei appunti avrei dovuto verificare la derivabilità della funzione in quel punto (x=0) e qui torna il problema delle due derivate sbagliate (con la mia derivata, f(x) è derivabile in 0, con la derivata trovatami da Wolframalpha no!)
Risposte
"alex369":
Salve ragazzi, ecco il mio problema: ho la seguente funzione e ne devo calcolare gli estremi relativi. Dal grafico si deduce subito che la funzione presenta un punto cuspidale, per cui vorrei sapere come "ragionare" in questi casi.
La funzione è la seguente:
$ f(x) = arcsin((x^2-1) / (x^2+1) ) $
1. Calcando la derivata prima mi ritrovo
$ f'(x) = 2 / (x^2+1) $
mentre Wolframalpha me la calcola in questo modo...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=de ... %2B1%29%5D
(e già qui non ho capito il perché, in effetti è la stessa cosa ma Wolfram non semplifica...)
Purtroppo ha ragione Wolfram (mi sa fatica dargli ragione
)Tu perdi un modulo durante i calcoli.
A un certo punto arrivi a
$f'(x)= 1/(\sqrt((4x^2)/(x^2+1)))(4x)/(x^2+1)^2$
che va semplificato così:
$f'(x)=2(x)/(|x|)(1)/(x^2+1)=sgn(x)2/(x^2+1)$
Capisco, e quindi come faccio a capire che in quel punto c'è una cuspide?
"alex369":
Capisco, e quindi come faccio a capire che in quel punto c'è una cuspide?
Non è una cuspide, è un punto angoloso perchè arrivando da destra la derivata è 2, da sinistra è -2.
"Quinzio":
[quote="alex369"]Capisco, e quindi come faccio a capire che in quel punto c'è una cuspide?
Non è una cuspide, è un punto angoloso perchè arrivando da destra la derivata è 2, da sinistra è -2.[/quote]
Quindi una volta trovata la x0, soluzione della derivata, basta calcolare il limite dx e sx di x->x0 e confrontare i valori?
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