Estremi relativi in R2 e assoluti in un cerchio
Ciao a tutti! Ho provato a risolvere il seguente esercizio:
"Data la funzione funzione definita dalla legge:
\(\displaystyle f(x,y)=4x^2y+y^3-4y \)
1. Determinarne gli estremi relativi in IR2
2. Determinarne poi gli estremi assoluti, se esistono, nel cerchio chiuso di
centro l’origine e raggio 4."
imponendo le derivate prime uguali a 0:
\(\displaystyle f_x=8xy=0 \\ f_y=4x^2+3y^2-4=0 \)
e ho trovato i punti stazionari \(\displaystyle (0, \pm \frac{2}{\sqrt{3}}) ; (\pm 1, 0) \)
ma non riesco a capire come trovare altre soluzioni dalla \(\displaystyle f_y=0 \) ...
e quindi mi sono bloccata, qualcuno sa come risolvere questo problema?
"Data la funzione funzione definita dalla legge:
\(\displaystyle f(x,y)=4x^2y+y^3-4y \)
1. Determinarne gli estremi relativi in IR2
2. Determinarne poi gli estremi assoluti, se esistono, nel cerchio chiuso di
centro l’origine e raggio 4."
imponendo le derivate prime uguali a 0:
\(\displaystyle f_x=8xy=0 \\ f_y=4x^2+3y^2-4=0 \)
e ho trovato i punti stazionari \(\displaystyle (0, \pm \frac{2}{\sqrt{3}}) ; (\pm 1, 0) \)
ma non riesco a capire come trovare altre soluzioni dalla \(\displaystyle f_y=0 \) ...
e quindi mi sono bloccata, qualcuno sa come risolvere questo problema?
Risposte
Ciao phpmode,
Potresti cominciare con l'osservare che per la funzione proposta $z = f(x, y) = 4x^2y+y^3-4y $ il dominio è $D = \RR^2 $ e si ha:
$f(-x, y) = f(x,y) $
$f(x, - y) = - f(x,y) $
Poi, essendo il vincolo $x^2 + y^2 = 4^2 \implies x^2 = 16 - y^2 $ se non vuoi usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange basta che sostituisci tale espressione di $x^2$ nella funzione proposta ottenendo così una funzione nella sola variabile $y$...
Potresti cominciare con l'osservare che per la funzione proposta $z = f(x, y) = 4x^2y+y^3-4y $ il dominio è $D = \RR^2 $ e si ha:
$f(-x, y) = f(x,y) $
$f(x, - y) = - f(x,y) $
Poi, essendo il vincolo $x^2 + y^2 = 4^2 \implies x^2 = 16 - y^2 $ se non vuoi usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange basta che sostituisci tale espressione di $x^2$ nella funzione proposta ottenendo così una funzione nella sola variabile $y$...
Grazie per la risposta! Ok, per il vincolo ci siamo.
Per quanto riguarda il problema che avevo con il sistema delle derivate prime.. come mi aiuta sapere che:
\(\displaystyle f(−x,y)=f(x,y) \)
\(\displaystyle f(x,−y)=−f(x,y) \) ?
Per quanto riguarda il problema che avevo con il sistema delle derivate prime.. come mi aiuta sapere che:
\(\displaystyle f(−x,y)=f(x,y) \)
\(\displaystyle f(x,−y)=−f(x,y) \) ?
Beh, quelle proprietà ti aiutano a capire le simmetrie della funzione $ z = f(x, y) = 4x^2y+y^3-4y = y(4x^2 +y^2 -4)$, che è pari rispetto a $x$ e dispari rispetto a $y$, che problema hai con il sistema delle derivate prime? Mi pare che i $4$ punti tu li abbia trovati:
$P_1(1,0) $ ed il suo simmetrico $P_2(-1,0) $, $P_3(0, 2/sqrt3) $ ed il suo simmetrico $P_4(0, - 2/sqrt3) $
Si vede subito che in $P_1$ e in $P_2$ la funzione proposta si annulla (così come si annulla anche nei punti $(0, \pm 2)$), mentre in $P_3 $ si ha un minimo che vale $z_{P_3} = - 16/(3 sqrt3) $ e in $P_4 $ si ha un massimo che vale $z_{P_4} = 16/(3 sqrt3) $
A questo punto non ti resta che vedere cosa accade sul bordo dato dal vincolo $x^2 + y^2 = 4^2 \implies x^2 = 16 - y^2 $ che, una volta inserito nella funzione proposta, porge la funzione della sola variabile $y$ seguente:
$ z = z(y) = 4(16 - y^2)y + y^3 - 4y = 64y - 4y^3 + y^3 - 4y^2 - 4y = -3y^3 - 4y^2 + 60y $
$P_1(1,0) $ ed il suo simmetrico $P_2(-1,0) $, $P_3(0, 2/sqrt3) $ ed il suo simmetrico $P_4(0, - 2/sqrt3) $
Si vede subito che in $P_1$ e in $P_2$ la funzione proposta si annulla (così come si annulla anche nei punti $(0, \pm 2)$), mentre in $P_3 $ si ha un minimo che vale $z_{P_3} = - 16/(3 sqrt3) $ e in $P_4 $ si ha un massimo che vale $z_{P_4} = 16/(3 sqrt3) $
A questo punto non ti resta che vedere cosa accade sul bordo dato dal vincolo $x^2 + y^2 = 4^2 \implies x^2 = 16 - y^2 $ che, una volta inserito nella funzione proposta, porge la funzione della sola variabile $y$ seguente:
$ z = z(y) = 4(16 - y^2)y + y^3 - 4y = 64y - 4y^3 + y^3 - 4y^2 - 4y = -3y^3 - 4y^2 + 60y $
Giusto! Non mi ero resa conto che quelle fossero già tutte le soluzioni del sistema, quindi non capivo come continuare.. adesso è molto più chiaro, grazie mille 
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