Estremi relativi funzioni di due variabili

[piergiorgiof1]

Ciao a tutti, ho riscontrato un caso che fino ad ora non avevo mai visto. Qualcuno sa aiutarmi?

Devo calcolare gli estremi relativi della seguente funzione:

$ f(x,y)= x^2+2xy+y^2 $.

Calcolando e mettendo a sistema le derivate parziali, ottengo che i punti critici sono tutti quelli per cui $ x=-y $.

Come faccio in questo caso a determinare se sono di massimo o di minimo? Si utilizza sempre la matrice H?
Grazie.

[dan952]

No perché il determinante dell'hessiana è nullo, quindi non possiamo dire nulla a priori. Tuttavia noterai che $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 \geq 0$ e si annulla proprio lungo la bisettrice $y=-x$

[piergiorgiof1]

Calcolando la matrice Hessiana ottengo:

$H(x,y)=[[2,2],[2,2]]=0$

Quindi essendo l'Hessiano nullo pongo

$2x+2y=t$

$f(t)=(t/2)^2=t^2/4$

$f'(t)=t/2$

$t/2>=0 -> t>=0$

quindi abbiamo un minimo relativo?

[dan952]

"piergiorgiof":Calcolando la matrice Hessiana ottengo:

$ H(x,y)=[[2,2],[2,2]]=0 $

Come fa una matrice ad essere uguale a 0?! Attento con le notazioni

Per il resto non ho ben capito cosa hai fatto, comunque $0$ è minimo assoluto proprio perché $f(x,y) \geq 0$. Esistono diversi metodi per lo studio dei massimi e minimi relativi e assoluti con hessiano nullo. In questo caso la cosa migliore da fare è proprio quella di considerare come si comporta la funzione intorno alla bisettrice e come si è visto è sempre positiva, dunque concludiamo che la funzione assume il valore $0$ solo lungo la bisettrice.

[piergiorgiof1]

Perfetto grazie! Hai ragione sulla notazione starò più attento