Estremi relativi due variabili
Salve, devo risolvere questo esercizio:
Data la funzione $f(x,y) = x^3log(x^2+y^2)$ dire se è prolungabile con continuità e determinare gli eventuali estremi relativi.
Calcolando $lim_( x,y -> 0,0) f(x,y)$ trovo che è uguale a 0 e quindi la funzione è prolungabile con continuità.
Calcolo le derivate parziali e e trovo che
$fx(x,y) = 3x^2log(x^2 + y^2) + (2x^4)/(x^2 + y^2)$
$fy(x,y) = (2x^3y)/(x^2 + y^2)$
adesso risolvo il sistema ponendo il gradiente uguale a 0 e come risultato trovo l'asse y(ma bisogna escludere il punto (0,0) vero?) e i punti $A(e^{-1/3},0)$ e $B(-e^{-1/3},0)$
Adesso per l'asse y studio $f(x,y) - f(0,y) > 0$ e cioè $f(x,y) > 0$. In qualunque intorno dell'asse y il segno della funzione cambia e quindi l'asse y è un luogo di punti di sella vero?
Ora mi chiedo se per conoscere la natura degli altri due punti devo calcolare l'hessiano. Spero di no perchè i calcoli sono abbastanza lunghi.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi aiuterà
Data la funzione $f(x,y) = x^3log(x^2+y^2)$ dire se è prolungabile con continuità e determinare gli eventuali estremi relativi.
Calcolando $lim_( x,y -> 0,0) f(x,y)$ trovo che è uguale a 0 e quindi la funzione è prolungabile con continuità.
Calcolo le derivate parziali e e trovo che
$fx(x,y) = 3x^2log(x^2 + y^2) + (2x^4)/(x^2 + y^2)$
$fy(x,y) = (2x^3y)/(x^2 + y^2)$
adesso risolvo il sistema ponendo il gradiente uguale a 0 e come risultato trovo l'asse y(ma bisogna escludere il punto (0,0) vero?) e i punti $A(e^{-1/3},0)$ e $B(-e^{-1/3},0)$
Adesso per l'asse y studio $f(x,y) - f(0,y) > 0$ e cioè $f(x,y) > 0$. In qualunque intorno dell'asse y il segno della funzione cambia e quindi l'asse y è un luogo di punti di sella vero?
Ora mi chiedo se per conoscere la natura degli altri due punti devo calcolare l'hessiano. Spero di no perchè i calcoli sono abbastanza lunghi.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi aiuterà
Risposte
non capisco una cosa: vuoi studiare la funzione originaria o quella prolungata per continuità? in quest'ultimo caso, non hai scritto perchè vorresti escludere il punto (0, 0) (altrimenti sarebbe stato ovvio)
penso che chieda lo studio della funzione prolungata con continuità e quindi posso includere il punto (0,0) vero?
se ti capita a un esame meglio che chiedi al prof per sicurezza, comunque allora dedichiamoci alla funzione prolungata per continuità.
..come fai a dire che le derivate non esistono in (0,0)?
io studierei la differenziabilità in (0,0) per prima cosa
..come fai a dire che le derivate non esistono in (0,0)?
io studierei la differenziabilità in (0,0) per prima cosa
Ho utilizzato la definizione di differenziabilità e cioè ho verificato che $lim_(x,y -> 0,0) (f(x,y) - f(0,0) - fx(0,0)x - fy(0,0)y)/sqrt(x^2+y^2) = 0$ e mi è uscito 0 quindi posso concludere che la funzione è differenziabile in $RR ^2$.
ok, io ora non sto a clcolare il limite perchè sto per uscire. comunque se è differenziabile allora la derivata esiste in ogni direzione. se vedi che il gradiente si annulla anche in (0,0) devi studiare anche quel punto con l'hessiano o con altre tecniche che ti hanno spiegato per vedere se è di estremo o di sella
alla fine credo che devo semplicemente includere il punto (0,0) nell'asse y che è il luogo dei punti di sella(anche se vorrei una conferma). Adesso però mi chiedo se per conoscere la natura degli altri due punti critici, devo per forza calcolare l'hessiano
nessuno può aiutarmi? 
Non ho visto l'esercizio, perché non ho tempo, ma dalla tipologia ti posso dire che generalmente se ti restringi ad un area locale del dominio (tipo un triangolo, un trapezio ecc.) trovi che quei punti definiscono gli estremi assoluti locali e quindi poi è facile ricondurre il discorso a tutta la funzione traducendo quei punti in estremi relativi..
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