Estremi relativi
Detetrminare gli eventuali estremi relativi della funzione
$f(x,y)=x^4-2x^2+(e^x-y)^4$
$f(x,y)=x^4-2x^2+(e^x-y)^4$
Risposte
ciao, enea.
calcolo le derivate parziali e trovo le coppie (x,y) per le quali si annullano entrambe:
fx=4x^3-4x+4(e^x)(e^x-y)^3
fy=-4(e^x-y)^3
eguagliando a zero le due derivate parziali e risolvendo il sistema, otteniamo i punti stazionari
(-1, 1/e); (0, 1); (1, e)
per studiare la loro natura, occorre calcolare le derivate parziali seconde,
fxx=12x^2-4+4[4e^x(e^x-y)^3-12(e^2x)(e^x-y)^2]=12x^2-4+16e^x(e^x-y)^2[e^x-y-3e^x]=12x^2+16e^x(e^x-y)^2(-y-2e^x)
fxy=fyx=-12e^x(e^x-y)^2 per il teorema di schwartz sull'uguaglianza delle derivate seconde miste
fyy=12(e^x-y)
e calcolare l'hessiano fxx*fyy-fxy*fyx in ciascuno dei punti stazionari: se H>0, allora il punto è di max se fxx<0, di minimo se fxx>0, caso dubbio per fxx=0; se H<0 il punto è di sella; se H=0, caso dubbio.
H(-1, 1/e)=12>0, fxx(-1, 1/e)=12>0 è un punto di minimo
H(0, 1)=0 caso dubbio, serve un altro metodo: il termine (e^x-y)^4 vale almeno zero, valore; i termini x^4-2x^2 dipendono solo dalla variabile x; calcoliamone la derivata 4x^3-4x e la derivata seconda 12x^2-4; in x=0 la derivata prima è nulla mentre la derivata seconda è negativa, dunque i termini potenze di x assumono un minimo locale uguale a zero.
La somma di quantità localmente maggiori o uguali a zero è anch'essa maggiore o uguale a zero.
Dunque il punto considerato è di minimo relativo.
H(1, e)=12>0, fxx(1, e)=12>0 è un punto di minimo.
calcolo le derivate parziali e trovo le coppie (x,y) per le quali si annullano entrambe:
fx=4x^3-4x+4(e^x)(e^x-y)^3
fy=-4(e^x-y)^3
eguagliando a zero le due derivate parziali e risolvendo il sistema, otteniamo i punti stazionari
(-1, 1/e); (0, 1); (1, e)
per studiare la loro natura, occorre calcolare le derivate parziali seconde,
fxx=12x^2-4+4[4e^x(e^x-y)^3-12(e^2x)(e^x-y)^2]=12x^2-4+16e^x(e^x-y)^2[e^x-y-3e^x]=12x^2+16e^x(e^x-y)^2(-y-2e^x)
fxy=fyx=-12e^x(e^x-y)^2 per il teorema di schwartz sull'uguaglianza delle derivate seconde miste
fyy=12(e^x-y)
e calcolare l'hessiano fxx*fyy-fxy*fyx in ciascuno dei punti stazionari: se H>0, allora il punto è di max se fxx<0, di minimo se fxx>0, caso dubbio per fxx=0; se H<0 il punto è di sella; se H=0, caso dubbio.
H(-1, 1/e)=12>0, fxx(-1, 1/e)=12>0 è un punto di minimo
H(0, 1)=0 caso dubbio, serve un altro metodo: il termine (e^x-y)^4 vale almeno zero, valore; i termini x^4-2x^2 dipendono solo dalla variabile x; calcoliamone la derivata 4x^3-4x e la derivata seconda 12x^2-4; in x=0 la derivata prima è nulla mentre la derivata seconda è negativa, dunque i termini potenze di x assumono un minimo locale uguale a zero.
La somma di quantità localmente maggiori o uguali a zero è anch'essa maggiore o uguale a zero.
Dunque il punto considerato è di minimo relativo.
H(1, e)=12>0, fxx(1, e)=12>0 è un punto di minimo.
ah, dimenticavo!!! il caso dubbio si risolve spessimo con lo studio del comportamento della funxione nell'intorno del punto.
ciao, mys
ciao, mys
nella derivata seconda fatta risp a y hai dimenticato un quadrato
è sbagliata anche la f''xx
Ho fatto a lezione questo esercizio. Lo trovi svolto sulle mie dispense che trovi sulla mia home.
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