Estremi locali
Data questa funzione $RR^3-->R$
$f(x,y,z)=1/x+1/y+1/z+xyz$
determinare eventuali estremi liberi.
per l'individuazione degli estremanti dovrei "controllare" che la funzione ammetta derivate
parziali seconde continue nei punti stazionari e poi proseguire coni conti vero?
allora potrei già vedere prima di fare i conti che tali estremi non esistono e rispondere subito?
Per adesso faccio l'indiano e calcolo il gradiente.
Poi verifico i punti dove il gradiente si annulla, che sono gli stazionari.
In questo caso l'unico punto è $f(0,0,0)$ giusto?
Ma in tale punto la funzione non è definita! Quindi, non esistono estremanti
o comunque non posso dire nulla su essi. Giusto?
In sostanza potevo risparmiarmi il calcolo relativo all'annullamento del gradiente?
$f(x,y,z)=1/x+1/y+1/z+xyz$
determinare eventuali estremi liberi.
per l'individuazione degli estremanti dovrei "controllare" che la funzione ammetta derivate
parziali seconde continue nei punti stazionari e poi proseguire coni conti vero?
allora potrei già vedere prima di fare i conti che tali estremi non esistono e rispondere subito?
Per adesso faccio l'indiano e calcolo il gradiente.
Poi verifico i punti dove il gradiente si annulla, che sono gli stazionari.
In questo caso l'unico punto è $f(0,0,0)$ giusto?
Ma in tale punto la funzione non è definita! Quindi, non esistono estremanti
o comunque non posso dire nulla su essi. Giusto?
In sostanza potevo risparmiarmi il calcolo relativo all'annullamento del gradiente?
Risposte
Sei sicuro che il gradiente si annulla nell'origine ?
Ho riportato male la funzione durante ricerca della soluzione scrivendo:
$f(x,y,z)=1/x*1/y*1/z+xyz$
spero di non aver fatto altre castronerie
facciamo che la domanda vale per questa funzione.
Quella con le somme la faccio poi se ho dubbi chiedo.
$f(x,y,z)=1/x*1/y*1/z+xyz$
spero di non aver fatto altre castronerie
facciamo che la domanda vale per questa funzione.
Quella con le somme la faccio poi se ho dubbi chiedo.
Ho tentato di risolvere anche:
$f(x,y,z)=1/x+1/y+1/z+xyz$
il gradiente vale:
$f'_x=-x^-2+yz$
$f'_y=-y^-2+xz$
$f'_z=-x^-2+xy$
per annullare il gradiente si ha un sistema non lineare
che, anche se non sono sicuro, mi sembra verificato solo per $x=y=z=1$
l'Hessiana non è difficile da calcolare e valutata nel punto $(1,1,1)$
risulta essere una matrice diagonale con tutti gli elementi della diag paria a $2$
quindi è definita positiva. Di fatti facendo un po di conti $(1,1,1)$ sembra essere
un minimo locale (assolutamente non globale)
La soluzione è corretta?
Tuttavia sempre con un po di conti sembrerebbe estremante anche il punto $(-1,-1,-1)$
massimo locale e forse ci sono anche altri punti. Perché non risultano dalla procedura?
Ci sono errori?
$f(x,y,z)=1/x+1/y+1/z+xyz$
il gradiente vale:
$f'_x=-x^-2+yz$
$f'_y=-y^-2+xz$
$f'_z=-x^-2+xy$
per annullare il gradiente si ha un sistema non lineare
che, anche se non sono sicuro, mi sembra verificato solo per $x=y=z=1$
l'Hessiana non è difficile da calcolare e valutata nel punto $(1,1,1)$
risulta essere una matrice diagonale con tutti gli elementi della diag paria a $2$
quindi è definita positiva. Di fatti facendo un po di conti $(1,1,1)$ sembra essere
un minimo locale (assolutamente non globale)
La soluzione è corretta?
Tuttavia sempre con un po di conti sembrerebbe estremante anche il punto $(-1,-1,-1)$
massimo locale e forse ci sono anche altri punti. Perché non risultano dalla procedura?
Ci sono errori?
Nessuno mi sa dare indicazioni?
Chiaramente devi considerare $x\ne 0$, $y\ne 0$, $z\ne 0$.
Moltiplica per $x$ l'equazione $f_x = 0$, per $y$ la $f_y = 0$, per $z$ la $f_z=0$.
Vedi subito che devi avere $1/x = 1/y = 1/z$, cioè $x=y=z$.
Se sostituisci nella prima eq. di partenza ottieni $x=\pm 1$; hai dunque due soluzioni, $(1,1,1)$ e $(-1,-1,-1)$.
(Ricontrolla perché ho fatto di corsa.)
Moltiplica per $x$ l'equazione $f_x = 0$, per $y$ la $f_y = 0$, per $z$ la $f_z=0$.
Vedi subito che devi avere $1/x = 1/y = 1/z$, cioè $x=y=z$.
Se sostituisci nella prima eq. di partenza ottieni $x=\pm 1$; hai dunque due soluzioni, $(1,1,1)$ e $(-1,-1,-1)$.
(Ricontrolla perché ho fatto di corsa.)
Ti ringrazio molto il tuo consiglio sulle moltiplicazione da effettuare è stato decisivo!
Io ho svolto il sistema partendo subito col noioso metodo della sostituzione.
Facendo come facevo io saltavano fuori un sacco di operazioni con esponenti da fare,
tra cui diverse radici che escludevano soluzioni negative.
Non credo di aver commesso errori nei conti, è proprio il metodo che porta a "perdere" delle
soluzioni (l'ho visto accadere varie volte, il brutto e che sembra di non fare nulla di illecito).
Adesso comunque torna tutto.
Mi viene anche voglia di congetturare una soluzione generale per funzioni del tipo:
$f(X)=x_1^-1+x_2^-1+...+x_n^-1+x_1*x_2*...*x_n$
se $n=dispari$
c'è un minimo locale in $[1,1,...,1]$
ed un massimo locale in $[-1,-1,...,-1]$
se $n=pari$
c'è un minimo locale in $[1,1,...,1]$
Io ho svolto il sistema partendo subito col noioso metodo della sostituzione.
Facendo come facevo io saltavano fuori un sacco di operazioni con esponenti da fare,
tra cui diverse radici che escludevano soluzioni negative.
Non credo di aver commesso errori nei conti, è proprio il metodo che porta a "perdere" delle
soluzioni (l'ho visto accadere varie volte, il brutto e che sembra di non fare nulla di illecito).
Adesso comunque torna tutto.
Mi viene anche voglia di congetturare una soluzione generale per funzioni del tipo:
$f(X)=x_1^-1+x_2^-1+...+x_n^-1+x_1*x_2*...*x_n$
se $n=dispari$
c'è un minimo locale in $[1,1,...,1]$
ed un massimo locale in $[-1,-1,...,-1]$
se $n=pari$
c'è un minimo locale in $[1,1,...,1]$
Ripetendo il procedimento per
$f(X)=1/x*1/y*1/z+xyz$ la funzione risulta molto simile,
anche questa è indefinita se almeno una variabile è nulla
ed entrambe si comportano allo stesso modo in termini di massimi e minimi
ed anche qua occhio a non perdersi il massimo.
Però qui se si generalizza, come prima, (se non erro) sia per $n$ pari che
dispari rimangono sempre sia il max che il min
$f(X)=1/x*1/y*1/z+xyz$ la funzione risulta molto simile,
anche questa è indefinita se almeno una variabile è nulla
ed entrambe si comportano allo stesso modo in termini di massimi e minimi
ed anche qua occhio a non perdersi il massimo.
Però qui se si generalizza, come prima, (se non erro) sia per $n$ pari che
dispari rimangono sempre sia il max che il min
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