Estremi locali

[asabasa]

Sia f una funzione di classe $C^2(A)$ e sia $( barx,bary)$ un punto di
A in cui siano soddisfatte, oltre alla , le seguenti condizioni:

$H(barx,bary)>0$ (1)
$f_{x x}(barx,bary)>0 (<0)$

Allora il punto $( barx, bary)$ è un punto di minimo (massimo) relativo per f.

Dim: Consideriamo la funzione

$f(barx +h,bary+k)$ e lo studio dell'incremento:
$f(barx +h,bary+k)-f(barx,bary)$
è ricondotto a quello del polinomio
(2)$f_{x x}(barx+thetah,bary+thetak)h^2+f_{x y}(barx+thetah,bary+thetak)hk+f_{y y}(barx+thetah,bary+thetak)k^2$
con theta tra [0,1] , immagino abbia applicato lagrange

Tenendo presente che le derivate seconde di f sono continue, se h, k sono
sufficientemente piccoli, in base alla (1), si ha
$H(barx +thetah,bary+thetak)>0$

quindi il polinomio ha discriminante negativo.

Sempre per h, k sufficientemente piccoli, se $f_{x x} ( barx, bary) > 0$,
si ha anche $f_{x x} ( barx+θh, y + θk) > 0$.
In definitiva il polinomio assume valori non negativi. Si ha allora che il punto critico è un punto di minimo relativo.
In modo analogo si ragiona se$ f_{x x} (barx,bary) < 0.$

E tutta la parte in neretto non mi è chiara... qualcuno mi aiuta?

[size=150]Edit:
[/size]Il discriminante del polinomio di secondo grado (2) è l’opposto del determinante hessiano di $f$ calcolato in $( barx, bary)$ (per la definizione di Hessiano, quindi se H>0 il discriminante è negativo, giusto?)

[lucillina1]

Sai che le derivate seconde sono contine e positive in $(\overline{x},\overline{y})$, dunque esiste un intorno in cui rimangono positive (permanenza segno) ---> questo di giustifica il fatto che esistono h e k ""sufficientemente piccoli"" tali che $H(\overline{x}+\theta h, \overline {y} \theta k)>0$ e $f_{x x}(\overline{x}+\theta h, \overline{y}+\theta k )>0$.
Il fatto che il polinomio ha descriminante negativo è semplice, perchè il suo discriminante è proprio l'opposto del determinante dell'Hessiano! Ora, il fatto che il polinomio ha discriminante negativo ti dice che non si annulla mai sui reali, inoltre sai che $f_{x x}(...)>0$, dunque il polinomio è sempre non negativo (puoi guardarlo come una parabola in $h$)... In conclusione,
\[ f(\overline{x}+h,\overline{y}+k)-f(\overline{x},\overline{y})\geq 0,
\]
per h, k "suff piccoli"... Ovvero esiste un intorno dove $(\overline{x}, \overline{y})$ è un min!

[asabasa]

Avevo rivisto un pò la dimostrazione e ci avevo trovato un senso ma il tuo intervento mi ha chiarito le idee.
Grazie mille