Estremi integrale doppio in coordinate polari
Buonanotte,
stavo svolgendo il seguente integrale doppio
con $Omega:={(x,y) in RR^2|1<= x^2+y^2<= 4x, |y|<= sqrt(3)x}$.
Solo che ho un dubbio nel determinare gli estremi d'integrazione.
Svolgimento:
A disegnare il dominio non ci sono problemi. La circonferenza risulta sbucciata in maniera simmetrica dalla retta $|y|<= sqrt(3)*x$. Queste si intersecano in $x=1$.
Per com'è fatta l'integranda e anche il dominio ho deciso di passare in coordinate polari.
$Omega={rho,theta| 1<= rho<= 4cos(theta), p|sen(theta)|<= sqrt(3)*cos(x)}$
Vista la simmetria mi riconduco a studiare solamente l'integrale nel primo quadrante. Poi moltiplicando il risultato per $2$ avrò l'area cercata. Così posso anche togliere il modulo alla $|y|$.
Ora qui ho il primo dubbio: non sono certo di come ho trovato gli estremi di integrazione.
Ho che devo avere $4cos(theta)>=1$, da cui $theta in [-arccos(1/4),arccos(1/4)]$.
Ora però devo usare anche la condizione sulla retta: vedo che il coefficiente angolare è $pi/3$.
Per cui mi verrebbe da dire che $theta in [0,pi/3]$. Mi sembra più sensata questa condizione anche per com'è fatto il grafico dell'insieme.
L'integrale diventa:
cioè
e arrivo a
Quindi il valore cercato è $2*I=1-log(2)/2$.
Grazie a chiunqua avrà la cortesia di rispondere.
stavo svolgendo il seguente integrale doppio
$ int int_(Omega ) |y|/(x^2+y^2)^2dx dy $
con $Omega:={(x,y) in RR^2|1<= x^2+y^2<= 4x, |y|<= sqrt(3)x}$.
Solo che ho un dubbio nel determinare gli estremi d'integrazione.
Svolgimento:
A disegnare il dominio non ci sono problemi. La circonferenza risulta sbucciata in maniera simmetrica dalla retta $|y|<= sqrt(3)*x$. Queste si intersecano in $x=1$.
Per com'è fatta l'integranda e anche il dominio ho deciso di passare in coordinate polari.
$Omega={rho,theta| 1<= rho<= 4cos(theta), p|sen(theta)|<= sqrt(3)*cos(x)}$
Vista la simmetria mi riconduco a studiare solamente l'integrale nel primo quadrante. Poi moltiplicando il risultato per $2$ avrò l'area cercata. Così posso anche togliere il modulo alla $|y|$.
Ora qui ho il primo dubbio: non sono certo di come ho trovato gli estremi di integrazione.
Ho che devo avere $4cos(theta)>=1$, da cui $theta in [-arccos(1/4),arccos(1/4)]$.
Ora però devo usare anche la condizione sulla retta: vedo che il coefficiente angolare è $pi/3$.
Per cui mi verrebbe da dire che $theta in [0,pi/3]$. Mi sembra più sensata questa condizione anche per com'è fatto il grafico dell'insieme.
L'integrale diventa:
$I= int_(0)^(pi/3) int_(1)^(4cos(theta))(sen(theta))/rho^2 drho d theta $
,cioè
$ int_(0)^(pi/3) sen(theta)*[-1/rho]_{1}^{4cos(theta)} d theta $
e arrivo a
$ -1/4*int_(0)^(pi/3) tg(theta)d theta + int_(0)^(pi/3)sen(theta) =1/2 - log(2)/4$
Quindi il valore cercato è $2*I=1-log(2)/2$.
Grazie a chiunqua avrà la cortesia di rispondere.
Risposte
Ti ringrazio molto TeM per la conferma 
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