Estremi integrale doppio
Salve, devo risolvere il seguente esercizio:
Sia f(x,y)= 5 e D= $ {(x,y) in RR^2: x^2 + y^2 leq 4, y geq 0 } $ Calcolare l'integrale di f esteso a D.
(A) 10 pgreco
(B) 0
(C) + $ oo $
(D) 10
Il grafico è una circofeenza di ragggio 2. Visto che c'è $ y geq 0 $ devo integrare sulla parte superiore della circonferenze. Gli estremi dell'integrale in dx sono -2 e 2 e dell'integrale in dy sono 0 e 2 oppure devo integrare solo in dx tra o e pgreco? ho provato in tutti e due i modi e ottengo risultati validi. Qual è quello giusto? ...grazie
Sia f(x,y)= 5 e D= $ {(x,y) in RR^2: x^2 + y^2 leq 4, y geq 0 } $ Calcolare l'integrale di f esteso a D.
(A) 10 pgreco
(B) 0
(C) + $ oo $
(D) 10
Il grafico è una circofeenza di ragggio 2. Visto che c'è $ y geq 0 $ devo integrare sulla parte superiore della circonferenze. Gli estremi dell'integrale in dx sono -2 e 2 e dell'integrale in dy sono 0 e 2 oppure devo integrare solo in dx tra o e pgreco? ho provato in tutti e due i modi e ottengo risultati validi. Qual è quello giusto? ...grazie
Risposte
ok, infatti io ho fatto in quel modo è ho trovato gli stessi intervalli e facendo gli integrali ho trovato lo stesso risultato. Il problema ora era per questo esercizio, e cioè se integrare tra -2 e 2 o tra 0 e pgreco
Qui io passerei alle coordinate polari, poi ognuno può pensarla diversamente.. 
Guarda, questo è ancora più semplice di quello di prima. Questo è un cilindro tagliato a metà.
Hai come base un semicerchio di raggio $2$ e l'altezza è $5$.
Comunque, se proprio vuoi calcolare l'integrale, la x varia tra $-2$ e $2$. $0$, $\pi$ lo avresti, se passassi alle coordinate cilindriche.
Hai come base un semicerchio di raggio $2$ e l'altezza è $5$.
Comunque, se proprio vuoi calcolare l'integrale, la x varia tra $-2$ e $2$. $0$, $\pi$ lo avresti, se passassi alle coordinate cilindriche.
e rispetto a y non devo integrare?
Sì, certo che devi integrare. Hai [tex]$0 \leq y \leq \sqrt{4-x^2}$[/tex].
In coordinate cilindriche fai sicuramente prima.
Ma non ti conviene calcolare il volume di quel semicilindro? Tanto se devi solo controllare il risultato, fai in tre secondi.
In coordinate cilindriche fai sicuramente prima.
Ma non ti conviene calcolare il volume di quel semicilindro? Tanto se devi solo controllare il risultato, fai in tre secondi.
Si, infatti, per questo motivo avevo chiesto se integrare la x tra 0 e p-greco e la y tra 0 e 2 o tra 0 e p-greco mezzi, oppure la x tra -2 e 2 e la y tra 0 e 2
Non avevo capito intendessi questo, ma io intendevo semplicemente di calcolarti il volume del semicilindro con la formuletta: [tex]$V=\frac{\pi r^2h}{2}$[/tex] 
sicuramente è meglio applicare la formula, ma potranno uscirmi delle figure figure di cui non conosco la formula, quindi vorrei sapere qali sono in questo caso gli estremi corretti da utilizzare per x e per y
Se proprio vuoi risolvere l'integrale, come prima ti suggerisco di passare alle coordinate polari, lo fai in un attimo:
$\{(x = rhocosvartheta),(y = rhosenvartheta):}$
$0 <= rho <= 2$
$0 <= vartheta <= pi$
Non dimentichiamoci ovviamente del determinante jacobiano:
$det|J| = rho$
Quindi l'integrale che dovrai risolvere sarà:
$\int_0^pi \int_0^2 5rho drho dvartheta$
$\{(x = rhocosvartheta),(y = rhosenvartheta):}$
$0 <= rho <= 2$
$0 <= vartheta <= pi$
Non dimentichiamoci ovviamente del determinante jacobiano:
$det|J| = rho$
Quindi l'integrale che dovrai risolvere sarà:
$\int_0^pi \int_0^2 5rho drho dvartheta$
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