Estremi in funzioni di due variabili
Mi è sorto un dubbio: quando calcolo gli estremi di una funzione in due variabili, dopo aver calcolato quelli interni al vincolo, se sto calcolando quelli sulla frontiera, trovo un punto ma l'hessiano è particolarmente complicato da trovare, posso sfruttare altri metodi per determinare se si tratta di un massimo o un minimo? Ci sono altre condizioni sufficienti ad averne la certezza, tipo con le restrizioni? Specifico che NON SO se l'hessiano sia uguale a zero.
Risposte
di solito il modo più semplice è parametrizzare la frontiera e studiare quindi una funzione di una sola variabile
Grazie, e invece se è all'interno?
Se un (possibile) estremo si trova all'interno, allora in quel punto il gradiente dovrà annullarsi, e per determinare se si tratti di un massimo, un minimo o altro dovrai procedere con l'hessiano o cercare di agire per maggiorazioni minorazioni. Anche nel caso ci sia un punto estremale interno, dovrai comunque procedere a studiare la frontiera e confrontare poi i valori che la tua funzione assume nei vari punti per determinare con certezza massimo o minimo assoluto.
Capisco, mi è venuto il dubbio avendo una funzione in cui calcolare l'hessiano è particolarmente lungo (in un tema d'esame già di per sè lungo, quindi immagino ci sia un'altra strada) mi chiedevo come funzionasse con le restrizioni: possono essere solo usate per trovare due restrizioni diverse tali da dimostrare che ho un punto di sella o possono essere anche CONDIZIONE SUFFICIENTE a dismostrare che un tale punto è massimo o minimo?
A volte possibile ma attento a questa cosa: quando le restrizioni danno risultati diversi la conclusione la ottieni subito, invece per trovare massimi o minimi non devi basarti su due restrizioni particolari ma usare qualche ragionamento che garantisca lo stesso risultato su qualsiasi restrizione
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