Estremi funzione in due variabili

[shadowman1]

Ho la seguente funzione $f(x,y)=x^4+y^4+xy$ di cui devo trovare gli estremi.

Calcolo le derivate:
$(delf)/(delx) = 4x^3 + y$
$(delf)/(dely) = 4y^3 + x$

Quindi la matrice hessiana sarà
$((12x^2,1),(1,12y^2))$

Il punto $(x,y)=(0,0)$ è di sicuro un punto critico, e dallo studio della matrice hessiana posso dire che è un punto di sella perché ha autovalori positivi e negativi ed inoltre ha determinante negativo.

Ora, come calcolo gli altri eventuali punti critici?

Ho provato a fare il sistema delle due derivate e sostituire le variabili ma mi escono sempre radici quadrate di numeri negativi
Idem se provo a vedere dove si annulla $f(x,y=x)$.

[legendre]

Beh se fai il sistema dovrebbero venire altre soluzioni reali

[Darèios89]

Mh............a me s annullano pure sempre....

[legendre]

viene $(+-1/2,-+1/2)$.se fai somma prima e seconda equazione ti trovi:$4x^3+4y^3+y+x=4(x+y)(x^2+xy+y^2)+x+y=(x+y)(4(x^2-xy+y^2)+1)=0$
da cui $y=-x,4(x^2-xy+y^2)+1=0,y=-4x^3$ sostituisci $y=-x$

[shadowman1]

$\{(4x^3+y=0),(4y^3+x=0):}$ -> $\{(4(-4y^3)^3+y=0),(x=-4y^3):}$ -> $\{(y(-256y^8+1)=0),(x=-4y^3):}$ -> $\{(y=1/2)),(x=-1/2):}$ perché y=0 già l'ho trovata.

Sostituendo y invece trovo $(x,y)=(1/2;-1/2)$

Ok, trovati altri 2 punti.
Dove $(x,y)=(-1/2;1/2)$ e $(x,y)=(1/2;-1/2)$ sono punti di minimo locale.

$\{(4x^3+x=0),(y=x):}$ -> $\{(x(4x^2+1)=0),(y=x):}$ Dove $4x^2+1=0$ ha soluzioni complesse.

"Darèios89":Mh............a me s annullano pure sempre....

cioè?

[shadowman1]

"legendre":viene $(+-1/2,-+1/2)$.se fai somma prima e seconda equazione ti trovi:$4x^3+4y^3+y+x=4(x+y)(x^2+xy+y^2)+x+y=(x+y)(4(x^2-xy+y^2)+1)=0$
da cui $y=-x,4(x^2-xy+y^2)+1=0,y=-4x^3$ sostituisci $y=-x$

Ok, grazie.

Nessun problema a sommare le due derivate fino ad arrivare a $(x+y)(4(x^2-xy+y^2)+1)=0$
Questo si annulla quando $x+y=0$ e $4(x^2-xy+y^2)+1=0$

Non ho capito che devo farci con $(delf)/(delx) = 4x^3 + y$ da cui $y=-4x^3$ e dove devo sostituire $y=-x$