Estremi funzione di due variabili
[tex]f(x,y)=x^4+y^4+1+x^2+y^2+2xy[/tex]
Il sistema mi dà come punto estremante l'origine, e l'hessiano ovviamente mi viene 0.
Ho provato a studiare localmente il punto, ma non so se bene.
Ho considerato:
[tex]f(0,y)=1+y^4+y^2>0[/tex] Ed essendo somma di quantità positive dovrebbe essere sempre vera.
[tex]f(x,0)=x^4+x^2+1>0[/tex] Anche questo sempre maggiore di 0.
Quindi in teoria quando uno dei due punti è 0 l'altro sarà sempre positivo, quindi in teoria l'origine è un punto di minimo assoluto. ("Poichè tutto sta al di sopra").
E' corretto? Altrimenti mi sapreste illuminare su questa cosa che da settimane non riuscivo a fare?
Il sistema mi dà come punto estremante l'origine, e l'hessiano ovviamente mi viene 0.
Ho provato a studiare localmente il punto, ma non so se bene.
Ho considerato:
[tex]f(0,y)=1+y^4+y^2>0[/tex] Ed essendo somma di quantità positive dovrebbe essere sempre vera.
[tex]f(x,0)=x^4+x^2+1>0[/tex] Anche questo sempre maggiore di 0.
Quindi in teoria quando uno dei due punti è 0 l'altro sarà sempre positivo, quindi in teoria l'origine è un punto di minimo assoluto. ("Poichè tutto sta al di sopra").
E' corretto? Altrimenti mi sapreste illuminare su questa cosa che da settimane non riuscivo a fare?
Risposte
Hai analizzato cosa succede muovendosi lungo gli assi ma questo non è sufficiente per concludere che sia punto di min, max o di sella.
Calcola il valore della funzione in $(0,0)$ ed è ovviamnete $=1 $ .
Adesso lo studio locale consiste nel vedere in un intorno dell'origine che valori assume $Deltaf(x,y)= f(x,y)-f(0,0) $.
Se questo $Deltaf $ è sempre positivo in un opportuno intorno dell'origine allora il punto è di minimo ; se è sempre negativo sarà un punto di max .
Se invece è negativo in alcuni parti e positivo in altre allora è una sella .
Nel caso specifico $Delta f = x^4+y^4+x^2+y^2+2xy =x^4+y^4+(x+y)^2 $ e questa quantità è sempre positiva , quindi siamo in un minimo.
Calcola il valore della funzione in $(0,0)$ ed è ovviamnete $=1 $ .
Adesso lo studio locale consiste nel vedere in un intorno dell'origine che valori assume $Deltaf(x,y)= f(x,y)-f(0,0) $.
Se questo $Deltaf $ è sempre positivo in un opportuno intorno dell'origine allora il punto è di minimo ; se è sempre negativo sarà un punto di max .
Se invece è negativo in alcuni parti e positivo in altre allora è una sella .
Nel caso specifico $Delta f = x^4+y^4+x^2+y^2+2xy =x^4+y^4+(x+y)^2 $ e questa quantità è sempre positiva , quindi siamo in un minimo.
Finalmente, grazie Camillo, qualcuno che me l'ha saputo dire.. 
Mi esercito con le funzioni che mi hai suggerito nell'altro post, grazie.
Una cosa ma con il simbolo [tex]\Delta(x,y)[/tex] cosa si indica?
Non lo so..
Mi esercito con le funzioni che mi hai suggerito nell'altro post, grazie.
Una cosa ma con il simbolo [tex]\Delta(x,y)[/tex] cosa si indica?
Non lo so..
L'ho scritto nel post : la differenza tra il valore della funzione nel generico punto $(x,y)$ e il valore della funzione nel punto critico, nel caso specifico l'origine.
Studiando in un intorno del punto critico il segno di questa differenza ( e se resta sempre dello stesso segno ) si può determinare la natura del punto.
Ho dimenticato di scrivere $ f$ , il modo corretto è $Delta f(x,y) $ che vado a correggere.
Studiando in un intorno del punto critico il segno di questa differenza ( e se resta sempre dello stesso segno ) si può determinare la natura del punto.
Ho dimenticato di scrivere $ f$ , il modo corretto è $Delta f(x,y) $ che vado a correggere.
Ti ringrazio, ho un problemino però con il segno di una di quelle che mi hai suggerito, potresti are un'occhiata all'altro post?
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