Estremi funzione con due variabili.
Ragazzi come si fa a trovare gli estremi di una funzione del genere:x^2+2y^2-xy+5x+y???
Risposte
$f(x,y)=x^2+2y^2-xy+5x+y$
$text(dominio di ) f(x,y)= mathbb(R)^2$
Poiché lungo la retta $y=0$ si ha che:
$lim_(x ->+oo) x^2+5x=+oo$
$lim_(x ->-oo) x^2+5x=+oo$
e lungo la retta $x=0$ si ha che:
$lim_(y ->+oo) 2y^2+y=+oo$
$lim_(y ->-oo) 2y^2+y=+oo$
allora si deduce che non esistono massimi globali.
Controllo il sistema di derivate parziali poste nulle:
\(\displaystyle \begin{cases} f_x=2x-y+5=0 \\ f_y=4y-x+1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-3 \\ y=-1 \end{cases} \)
che si verifica essere il minimo globale.
Questo è un caso estremamente semplice, per i più complicati si adotta l'hessiano.
$text(dominio di ) f(x,y)= mathbb(R)^2$
Poiché lungo la retta $y=0$ si ha che:
$lim_(x ->+oo) x^2+5x=+oo$
$lim_(x ->-oo) x^2+5x=+oo$
e lungo la retta $x=0$ si ha che:
$lim_(y ->+oo) 2y^2+y=+oo$
$lim_(y ->-oo) 2y^2+y=+oo$
allora si deduce che non esistono massimi globali.
Controllo il sistema di derivate parziali poste nulle:
\(\displaystyle \begin{cases} f_x=2x-y+5=0 \\ f_y=4y-x+1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-3 \\ y=-1 \end{cases} \)
che si verifica essere il minimo globale.
Questo è un caso estremamente semplice, per i più complicati si adotta l'hessiano.
Scusa ma i limiti a cosa ci servono?Forse poiché tendono ad infinito per trovare i massimi??? ma con x e y tendente a meno infinito il limite non dovrebbe dare risultato in forma indeterminata infinito - infinito?????
Ciao Antonio, a volte è necessario chiarirsi bene le idee e per questo ti faccio la seguente domanda:
Che cosa ti interessa sapere di questa funzione?
Che cosa ti interessa sapere di questa funzione?
Il testo mi richiede di calcolare gli estremi relativa di tale funzione con 2 variabili reali,e vorrei tanto sapere il metodo più semplice per farlo....
"antonio.89":
Scusa ma i limiti a cosa ci servono?Forse poiché tendono ad infinito per trovare i massimi???
Il calcolo di questi limiti è servito solo per dimostrare che lungo gli assi, all'infinito, la funzione non presenta un valore finito: questo basta per affermare che, globalmente, non esistono massimi - ma possono esistere quelli relativi, se ad esempio dovessi controllare dentro una restrizione $ A subset mathbb(R)^2$.
Tuttavia non posso affermare che non esistono minimi globali, dato che con questo metodo non ho ottenuto una divergenza a $-oo$.
Allora, poiché la funzione non è complicata, ci è bastato calcolare le derivate parziali e, annullandole, abbiamo trovato un punto, $(-3,-1)$ che è il minimo globale.
"antonio.89":
ma con x e y tendente a meno infinito il limite non dovrebbe dare risultato in forma indeterminata infinito - infinito?????
Sarebbe bene se ti riguardassi la gerarchia sugli ordini di infinito
PS: di punti di domanda ne basta uno
Si hai ragione per il limite...infatti l'ho svolto e me ne sono reso conto...tuttavia il testo mi richiede gli estremi relativi... a quanto ho capito sono differenti da quelli calcolati da te...per calcolare tali estremi relativi come posso fare???Grazie mille
Raga nessuno mi aiutaaaaaa 
Prova a guardare qui
http://verissima03.altervista.org/classe5/estremiF2.htm
In questo modo trovi i massimi/minimi.
Ovviamente, dato un massimo/minimo $(x_0, y_0)$ il corrispondente estremo è $f(x_0,y_0)$.
http://verissima03.altervista.org/classe5/estremiF2.htm
In questo modo trovi i massimi/minimi.
Ovviamente, dato un massimo/minimo $(x_0, y_0)$ il corrispondente estremo è $f(x_0,y_0)$.
Grazie mille,ho capito il procedimenti,tuttavia ho un problema: data la seguente equazione,come faccio a trovare i valori della x o y, ho questo problema anche nel caso in cui ho un vincolo. $ x^2+Y^2+4=0 $
"antonio.89":
$ x^2+Y^2+4=0 $
A occhio direi che non esistono valori reali che posso sostituire a $x$ e $y$ affinchè risulti vera la precedente uguaglianza.
Discorso diverso per
$x^2+y^2-4=0$
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