Estremi e punti di accumulazione

[anto_zoolander]

Ciao

sia $D={x inRR:x=n/(n+1),ninNN}$ un insieme. Dimostrare che $Sup_D=1$ e che si tratta di un punto di accumulazione.

in poche parole mi richiede di dimostrare che sia $1-delta0$ ovvero trovare $I^(-)(1)=(1-delta,1)$
Per dimostrare che si tratti di un estremo superiore, dovrebbe esistere almeno un $x inI^(-)(1)$, mentre per vedere se è di accumulazione ne devono cadere infiniti.

$1-delta{(n/(n+1)<1),(n/(n+1)>1-delta):}$

$n/(n+1)<1 <=> -1/(n+1)<0 <=> 1/(n+1)>0,forallninNN$

$n/(n+1)>1-delta <=> ... <=> n>1/delta-1$

dunque comunque scelgo $ninNN$ avrò che da un lato sarà certamente $<1$ e dall'altro avrò che potrò scegliere $ninNN:n>1/delta-1$ ed esiste l'intorno $I^(-)(1)subsetD$ tale che $I$ contiene infiniti punti di $D$

è corretto?
Ho solo un dubbio: dalla definizione un punto $x_0$ è di accumulazione per un insieme solo se esiste un intorno completo di $x_0$ che contiene infiniti punti di $A$.

Ma un intorno completo è del tipo $(1-delta,1+delta)$. Però se l'insieme è $x=n/(n+1)$, che senso ha considerare, ad esempio, l'intorno destro di $1$? a questo punto non sarebbe più corretto considerare l'intorno completo e trovarne l'intersezione con l'insieme?

Tipo.. sia $x_0$ un punto e $I_delta(x_0)$ un intorno completo di $x_0$ allora se $I=I_delta(x_0)capA$ contiene infiniti punti di $A$, $x_0$ è di accumulazione per $A$.

[Fioravante Patrone1]

"anto_zoolander":Ciao
...
in poche parole mi richiede di dimostrare che sia $1-delta0$
...

Anche tu!

$1-delta0$
è una proposizione che dipende da $x$ (e che è falsa per ogni $x in RR$ [immagino fosse sottinteso che $x$ rappresenta un numero reale])

ma, soprattutto, qui:
$1-delta tu vedi la lettera $n$ da qualche parte? Io no...
E quindi:
$1-delta0$
è come dire
$1-delta0$
o anche come
$1-delta0$

[anto_zoolander]

mmm... penso di aver capito l'errore che ho commesso.

Allora devo dire qual è l'insieme degli elementi tali che rendono vera la proposizione:

$P(x): 1-delta0$

ma se non metto alcun legame tra $x$ e $n$ la proposizione risulta falsa.

$A={x inQQ:x=n/(n+1),n>1/delta-1,delta>0}$

dovrei dunque scrivere che $1-delta
ci siamo?

[donald_zeka]

Dato un insieme $A in RR$, l'estremo superiore di A è il minimo dei maggioranti di A e che quindi verifica le due seguenti condizioni:

i) $x<=a$ $AA x in A$
ii) $AA epsilon>0, EE x_0 in A : x_0>a-epsilon$

Nel tuo caso devi dimostrare che 1 è estremo superiore di quell'insieme, si verifica facilmente che $n/(n-1)<1$ per qualsiasi $n$, quindi 1 verifica la condizione i), bisogna dimostrare che verifica anche la condizione ii)

$n/(n+1)>1-epsilon$

$n>n+1-n*epsilon-epsilon$

$n>1/(epsilon)-1$

Pertanto, anche la seconda condizione è verificata, basta prendere un n che soddisfi quella condizione, che esiste sempre.

Chiaramente dalla condizione ii) che si è verificato segue banalmente che 1 è punto di accumulazione, infatti in ogni forato intorno del tipo $(1-epsilon, 1+epsilon)$ cade almeno un $x_0$ tale che $1-epsilon

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[anto_zoolander]

Si diciamo che il problema era più incentrato sull'ultima questione. Infatti l'ho svolto seguendo la domanda che ho fatto alla fine. E' sbagliato considerare come intorno, uno dato dall'intersezione con l'insieme stesso?

Diciamo che riguardando questa richiesta, c'è una cosa che non mi piace. Se considero $I=I_delta(1)capA$ non sto' più considerando un intorno di bucato di $x_0$ ma sto considerando un sottoinsieme di $A$. Di fatto non sto verificando nulla, quindi la condizione che sia un intorno non intersecato con il dominio(sennò non ha senso) e siccome, in generale, considerare un intorno completo di un punto è una condizione più forte del solo intorno destro o sinistro, è sufficiente che l'intorno completo contenga infiniti punti di $A$ affinché $x_0$ sia di accumulazione per $A$.

Grazie

[donald_zeka]

Un intorno è un intorno, la definizione di punto di accumulazione è quella, non ha alcuna importanza l'intersezione con A.

Occhio che hai sbagliato alcune cose: non è vero che " un punto x_0 è di accumulazione per un insieme solo se esiste un intorno completo di x_0 che contiene infiniti punti di A" e non è vero che "è sufficiente che l'intorno completo contenga infiniti punti di A affinché x0 sia di accumulazione per A". Devi sostituire "un intorno" e "l'intorno" con "ogni intorno", così facendo hai "x_0 è punto di accumulazione di A se e solo se ogni intorno di x_0 contiene infiniti punti appartenenti a A diversi da x_0" e questo è un teorema, non una definizione, perché la definizione di punto di accumulazione è : "x_0 è punto di accumulazione per A se in ogni intorno di x_0 c'è almeno un elemento di A diverso da x_0"

[anto_zoolander]

però se esiste un intorno completo di $x_0$ del tipo $I_delta(x_0)=(x_0-delta,x_0+delta)$ tale che contenga infiniti punti di $A$ allora ogni $I_(delta_1)(x_0)=(x_0-delta_1,x_0+delta_1):0
Per il resto mi era passata di mente la definizione di punto di accumulazione non so perché consideravo il quantificatore esistenziale più che quello universale(per gli intorni).

[G.D.5]

"anto_zoolander":
però se esiste un intorno completo di $x_0$ del tipo $I_delta(x_0)=(x_0-delta,x_0+delta)$ tale che contenga infiniti punti di $A$ allora ogni $I_(delta_1)(x_0)=(x_0-delta_1,x_0+delta_1):0

Direi proprio di no. Prendi e.g. \( A = [2,+\infty[ \), \( x_{0} = 0 \), \( \delta = 3 \) e \( \delta_{1} = 1 \).

[anto_zoolander]

"G.D.":[quote="anto_zoolander"]
però se esiste un intorno completo di $x_0$ del tipo $I_delta(x_0)=(x_0-delta,x_0+delta)$ tale che contenga infiniti punti di $A$ allora ogni $I_(delta_1)(x_0)=(x_0-delta_1,x_0+delta_1):0

Direi proprio di no. Prendi e.g. \( A = [2,+\infty[ \), \( x_{0} = 0 \), \( \delta = 3 \) e \( \delta_{1} = 1 \).[/quote]

però $0$ non è nemmeno di accumulazione . parlavo nel contesto dei punti di accumulazione, mi spiego, per dimostrare che $x_0$ sia di accumulazione basterebbe trovare un intorno di completo di $x_0$ che contenga infiniti punti di $A$.

cioè se $forallninNN:delta_n>0existsx inA:x in(x_0-delta_n,x_0+delta_n),xnex_0$ allora un generico intorno contiene infiniti punti di $A$. Naturalmente con questo ho interpretato in un altro modo la definizione di punto di accumulazione, ma credo che sia del tutto equivalente.

prendendo $delta_n$ come successione decrescente di elementi tale che $lim_(n->+infty)delta_n=0^+$

$I_(delta_n)(x_0)=(x_0-delta_n,x_0+delta_n)$

è il generico intorno e posso dire che $I_(delta_n)(x_0)subset...subsetI_(delta_1)(x_0)subsetI_(delta_0)(x_0)$

per evitare di appesantire la scrittura si considerino tutti intorni bucati.
Ancora ho rispettato le ipotesi. Ogni intorno di $x_0$ avente per raggio un termine della successione decrescente $delta_n$, contiene almeno un elemento di $A$.

allora $I_(delta_n)(x_0)subsetI_(delta_0)(x_0),ninNN:ngeq1$

essendo che ogni $I_(delta_n)(x_0),ninNN:ngeq1$ contiene almeno un elemento di $A$ diverso da $x_0$ allora $I_(delta_0)$ contiene infiniti elementi. Facendo lo stesso ragionamento anche $I_(delta_1)$ contiene infiniti elementi e allora ogni intorno contiene infiniti elementi.

Poi se $I_(delta_0)(x_0)$ contiene infiniti elementi di $A$ diversi da $x_0$ allora sicuramente ne conterrà almeno uno diverso da $x_0$. Dunque vale la doppia implicazione.

In poche parole ho voluto dire che un punto è di accumulazione per un insieme se comunque prenda un intorno del punto, esso contenga infiniti elementi dell'insieme.
Analogamente che ogni intorno contiene infiniti punti di un insieme solo se quel punto è di accumulazione per l'insieme.

Spero di non aver dimenticato nulla, a quest'ora è facile

Edit: mi sono reso conto che quanto ho tentato(e spero di non aver sbagliato) di dimostrare, è esattamente ciò che mi hai scritto Vulpasir . Mi sa che ho bisogno di una settimana di vacanza

[donald_zeka]

Stai facendo un mare di ragionamenti inutili per tentare invano di dimostrare qualcosa di banalmente non vero. L'esempio fatto da G.D. è sufficiente a dire che quello che dici è falso, e ce ne possono essere altri infiniti di esempi. Sbagli nel dire che quell'esempio non va bene perchè x=0 non appartiene a A, infatti nella definizione di punto di accumulazione non è richiesto che tale punto appartenga all'insieme.

[Fioravante Patrone1]

anto_zoolander,
se ho ben capito sei uno stud delle secondarie (maturando, maturato...)
e ti piace la matematica
benissimo, ma
come dice Vulplasir
stai facendo un casino bestiale.

Fermati. Lavorare così non ti servirà a niente.
Prenditi un bel libro di mate (vera, non un coso divulgativo) e leggitelo(*). Con calma. Fatti gli esercizi, se proprio vuoi. Ma con calma. Dopo aver fatto due o tre esercizi, mettili via. Ritornaci su dopo almeno 24 ore. Riprovaci. Mettili "in bella copia". Poi dopo altre 24 ore provo a rifarli daccapo. Tiri le fila e, se hai dei dubbi, li sottoponi qui.

Il tutto, se vuoi, ovviamente

(*)Al tuo posto, ovvero quasi 50 anni fa, mi lessi "Istituzioni di algebra astratta", di Lucio Lombardo Radice. Neanche tutto, forse la metà. Per me fu molto formativo

[anto_zoolander]

Si mi sono diplomato quattro giorni fa. E si mi piace tantissimo(a settembre mi iscrivo in matematica).

Purtroppo a volte mi lascio prendere. Diciamo che non mi piace come vengono spiegate le cose al liceo e cerco di approfondirle per i fatti miei. Peró su questa discussione ho fatto un tonfo e colgo il consiglio. Come libri di Analisi per settembre ho acquistato il De Marco e il Prodi.

Il mio sbaglio in questo contesto(oltre da quelli voi citati), è che al liceo di teoria non è che ce ne sia tantissima, è più una matematica calcolosa. Questo penso sia dovuto al fatto che ormai i laureati in Matematica che si donano al liceo sono pochissimi, sono quasi tutti ingegneri. E studiare da solo tutta questa roba, è piuttosto faticoso(a scuola non seguivo molto le lezioni per questo motivo) e devo dire che se ho raggiunto un determinato livello è anche grazie a questo forum.

Grazie

[axpgn]

Anto, te l'avevo già detto o no, che devi farti una settimana al mare (che ce l'hai pure vicino ...) ?

Ciao, Alex

[anto_zoolander]

"axpgn":Anto, te l'avevo già detto o no, che devi farti una settimana al mare (che c'è l'hai pure vicino ...) ?

Ciao, Alex

Si è vero, me l'hai detto giuro che sono andato!