Estremi di una successione (non monotona)
Salve a tutti! 
Avrei bisogno di un aiuto col seguente esercizio...
Ho notato che il limite della successione è $0$, ma anche che non è monotona.
So pure che $cos(npi)=(-1)^n$ ma non credo ci sia un modo simile per esprimere $sin((npi)/2)$.
Forse la via più giusta è considerare delle particolari successioni estratte e vedere in questo modo quali sono gli estremi...
Ad esempio "scomponendo" $sin(npi/2)$ (sperando che non abbia sbagliato i conti) sono arrivato a:
$a_(n)={ ( -1/(4k+1) if n=4k+1 ),(1/(4k+3) if n=4k+3),( 0 if n=2k ):}$
calcolando inf e sup di ciascuna sottosuccessione giungo alla conclusione che $i nf {a_(n)}=-1/5$ e $s u p {a_(n)}=1/3$.
NON sono certo che tutto ciò che ho fatto sia corretto (non ho la soluzione), lecito e soprattutto se esiste un metodo più facile e/o veloce di questo.
Avrei bisogno di un aiuto col seguente esercizio...
Determinare l'estremo inferiore e l'estremo superiore della successione:
$a_(n)=1/n sin((n pi)/2)cos(npi)$ $AA n in N$
Ho notato che il limite della successione è $0$, ma anche che non è monotona.
So pure che $cos(npi)=(-1)^n$ ma non credo ci sia un modo simile per esprimere $sin((npi)/2)$.
Forse la via più giusta è considerare delle particolari successioni estratte e vedere in questo modo quali sono gli estremi...
Ad esempio "scomponendo" $sin(npi/2)$ (sperando che non abbia sbagliato i conti) sono arrivato a:
$a_(n)={ ( -1/(4k+1) if n=4k+1 ),(1/(4k+3) if n=4k+3),( 0 if n=2k ):}$
calcolando inf e sup di ciascuna sottosuccessione giungo alla conclusione che $i nf {a_(n)}=-1/5$ e $s u p {a_(n)}=1/3$.
NON sono certo che tutto ciò che ho fatto sia corretto (non ho la soluzione), lecito e soprattutto se esiste un metodo più facile e/o veloce di questo.
Risposte
Ciao, mi pare tutto giusto tranne l' \(\inf \). Per fare il \( \sup \) mi pare che tu abbia preso $k=0$, dovresti fare la stessa cosa anche per l' \(\inf \).
In effetti in ciò che ho scritto prima c'è una imprecisione. Non ho precisato che a k do i valori $k=1,2,3...$ e alla fine ho sbagliato pure io.
$ a_(n)={ ( -1/(4k+1) if n=4k+1 ),(1/(4k-1) if n=4k-1),( 0 if n=2k ):} $
$ a_(n)={ ( -1/(4k+1) if n=4k+1 ),(1/(4k-1) if n=4k-1),( 0 if n=2k ):} $
Ma scusa, $1 \in \mathbb{N}$ o no?
Certo! Ma tu hai detto che ho preso inf e sup per $k=0$, invece li ho presi per $k=1$
Ok, quello che voglio dirti è che se usi
perdi dei numeri. La scrittura corretta è
\[ a_n = \begin{cases} \frac{-1}{4k+1} \quad & \text{if } n = 4k+1 \\ \frac{1}{4k+3} \quad & \text{if } n = 4k+3 \\ 0\quad & \text{altrimenti} \end{cases} \quad \quad \quad k =0,1,2, \dots \]
da cui vedi che l' \( \inf \) è $-1$ prendendo $k=0$ e guardando il primo caso (i.e. $n=1$) e il \( \sup \) è $\frac{1}{3}$prendendo $k=0$ e guardando il secondo caso (i.e. $n=3$).
Nota che in questo caso sono anche minimo e massimo!
"ValeForce":
[...]
$ a_(n)={ ( -1/(4k+1) if n=4k+1 ),(1/(4k-1) if n=4k-1),( 0 if n=2k ):} $
perdi dei numeri. La scrittura corretta è
\[ a_n = \begin{cases} \frac{-1}{4k+1} \quad & \text{if } n = 4k+1 \\ \frac{1}{4k+3} \quad & \text{if } n = 4k+3 \\ 0\quad & \text{altrimenti} \end{cases} \quad \quad \quad k =0,1,2, \dots \]
da cui vedi che l' \( \inf \) è $-1$ prendendo $k=0$ e guardando il primo caso (i.e. $n=1$) e il \( \sup \) è $\frac{1}{3}$prendendo $k=0$ e guardando il secondo caso (i.e. $n=3$).
Nota che in questo caso sono anche minimo e massimo!
Adesso ho capito, ti ringrazio per la tua pazienza
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