Estremi di una funzione in due variabili con valore assoluto

[LucaLiuk1]

Raga ho questo esercizio che non riesco a risolvere.

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Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione

$ f(x,y)=(x^2+y^2)abs(x) $

nell'insieme $E={(x,y)in R^2:\ x^2+y^2<=1}$.
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L'insieme $E$ è il cerchio centrato in $O$ e di raggio $r=1$.
Il problema è quel valore assoluto che non so come comportarmi.

Per trovare per esempio gli estremi sulla frontiera ho provato a parametrizzare usando le coordinate

$ { ( x=rcos(t)=cos(t) ),( y=rsen(t)=sin(t)):} $

che sostituite in $f$ creano la funzione $g$ in una sola variabile

$ g(t)=abs(cos(t)) $

La sua derivata è:

$ g'(t)=(-sin(t)cos(t))/abs(cos(t)) $

Da cui, ponendo $g'(t)=0$ si ottengono tutti quei punti nella forma $P(kpi, g(kpi))$.

Nella parte interna invece dovrei calcolarmi il gradiente $ grad f $ che è una cosa mostruosa e non penso si faccia cosi!

Qualcuno può aiutarmi ????

[quantunquemente]

per come è fatta la funzione mi sembra abbastanza evidente che assuma minimo assoluto $0$ su tutti i punti dell'asse delle $y$ appartenenti ad $E$ e massimo assoluto $1$ in $A(1,0),B(-1,0)$

[LucaLiuk1]

Da cosa lo dovrei dedurre? Se volessi studiare il problema con i "soliti" metodi? Grazieee