Estremi di una funzione
In questa funzione:
[tex]f(x)=\frac{1}{x}e^{|x^2-1|}[/tex]
Mi si chiede di determinare, se esitono, il massimo e il minimo assoluto nell'intervallo [tex][\frac{1}{2},2][/tex]
Però studiando la derivata ho trovato che la funzione è crescente per [tex]x\leq-1,x\geq1[/tex] e decrescente quando è [tex]-1
Quindi in ogni caso dovrei potere concludere che in quell'intervallo non esistono punti estremanti.
Giusto?
[tex]f(x)=\frac{1}{x}e^{|x^2-1|}[/tex]
Mi si chiede di determinare, se esitono, il massimo e il minimo assoluto nell'intervallo [tex][\frac{1}{2},2][/tex]
Però studiando la derivata ho trovato che la funzione è crescente per [tex]x\leq-1,x\geq1[/tex] e decrescente quando è [tex]-1
Quindi in ogni caso dovrei potere concludere che in quell'intervallo non esistono punti estremanti.
Giusto?
Risposte
non credo, sei in un insieme chiuso e limitato, quindi per weierstrass devi avere massimo e minimo. ammesso che la derivata sia corretta hai un minimo in 1. prova a vedere dove hai il massimo.
Io ho trovato un solo asintoto verticale, [tex]x=0[/tex] e nessun altro.
Ah giusto scusa.......l'intervallo comprende anche 1 quindi si, e quel valore l'ho trovato, poi però il massimo l'ho trovato per [tex]x=-1[/tex]
Quindi la funzione ha solo un minimo assoluto in [tex]x=1[/tex]
Però non trovo il massimo in quell'intervallo.....perchè e crescente e tende a più infinito quando è maggiore di 1.
Ah giusto scusa.......l'intervallo comprende anche 1 quindi si, e quel valore l'ho trovato, poi però il massimo l'ho trovato per [tex]x=-1[/tex]
Quindi la funzione ha solo un minimo assoluto in [tex]x=1[/tex]
Però non trovo il massimo in quell'intervallo.....perchè e crescente e tende a più infinito quando è maggiore di 1.
"Darèios89":
Io ho trovato un solo asintoto verticale, [tex]x=0[/tex] e nessun altro.
Ah giusto scusa.......l'intervallo comprende anche 1 quindi si, e quel valore l'ho trovato, poi però il massimo l'ho trovato per [tex]x=-1[/tex]
Quindi la funzione ha solo un minimo assoluto in [tex]x=1[/tex]
Però non trovo il massimo in quell'intervallo.....perchè e crescente e tende a più infinito quando è maggiore di 1.
controlla agli estremi dell'intervallo
Ma in che modo?
Sostituendo i punti [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] e [tex]x=2[/tex]?
Sostituendo i punti [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] e [tex]x=2[/tex]?
sì.. ma devi studiare un po' più di teoria sennò ti blocchi sempre
sì.
se sono giusti i tuoi calcoli, tu hai trovato che, limitandosi all'intervallo $[1/2,2]$ la funzione è decrescente in $(1/2, 1)$ e crescente in $(1,2)$, dunque ha minimo in $1$ e massimo in almeno uno dei due estremi.
se sono giusti i tuoi calcoli, tu hai trovato che, limitandosi all'intervallo $[1/2,2]$ la funzione è decrescente in $(1/2, 1)$ e crescente in $(1,2)$, dunque ha minimo in $1$ e massimo in almeno uno dei due estremi.
Si solo che non mi quadra....cioè il minimo ci siamo e viene 1, ma non capisco dov'è il massimo.
GLi asintoti che ho calcolato dovrebbero andare, ora non riporto la funzione ma scrivo velocemente i limiti.
a [tex]-\infty[/tex] trovo [tex]-\infty[/tex]
a [tex]+\infty[/tex] trovo [tex]+\infty[/tex]
e y=0 asintoto verticale.
Quindi in base al valore assoluto...la funzione la trovo crescente per [tex]x>1[/tex] quindi tende a più infinito.....e prima quando [tex]x<1[/tex] la funzione parte dall'alto da + infinito perchè y=0 è asintoto verticale e arriva ad [tex]x=1[/tex] per poi crescere.
Dov'è il massimo?
L'ho trovato ma in un altro intervallo, il grafico mi risulta uguale a quello corretto che è questo:
http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... magine.JPG
GLi asintoti che ho calcolato dovrebbero andare, ora non riporto la funzione ma scrivo velocemente i limiti.
a [tex]-\infty[/tex] trovo [tex]-\infty[/tex]
a [tex]+\infty[/tex] trovo [tex]+\infty[/tex]
e y=0 asintoto verticale.
Quindi in base al valore assoluto...la funzione la trovo crescente per [tex]x>1[/tex] quindi tende a più infinito.....e prima quando [tex]x<1[/tex] la funzione parte dall'alto da + infinito perchè y=0 è asintoto verticale e arriva ad [tex]x=1[/tex] per poi crescere.
Dov'è il massimo?
L'ho trovato ma in un altro intervallo, il grafico mi risulta uguale a quello corretto che è questo:
http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... magine.JPG
l'esistenza di massimi e minimi assoluti non vale mica sempre: Weierstrass ci garantisce che esistono in intervalli chiusi e limitati.
è la richiesta dell'esercizio: non in tutto il dominio della funzione ma in $[1/2,2]$.
è la richiesta dell'esercizio: non in tutto il dominio della funzione ma in $[1/2,2]$.
quel grafico è sbagliato, prova a calcolare il valore di f in x = 2 e vedi immediatamente che non può essere infinito. forse dovevi mettere tra parentesi l'esponenziale dopo il segno di moltiplicazione (o forse hai tagliato il grafico troppo in basso e non si vede se assume un qualche valore finito in 2)
Il grafico dovrebbe essere corretto perchè provando a scrivere anche le parentesi mi dà lo stesso grafico....
Il mio problema è che il dominio è:
[tex]]-\infty,00,+\infty[[/tex]
Dato che ho trovato che la funzione è crescente per [tex]x>1[/tex] significa che tende a più infinito.
Quindi nell'intervallo [tex][\frac{1}{2},2][/tex]
Mi risulta che abbia il minimo...in [tex]x=1[/tex] e ci siamo, ma poi cresce sempre quindi tendendo a più inifnito per me il massimo non lo può avere......(so che non posso contraddire Weierstrass).
A meno che.....siccome so che nell'intervallo in questione per x=1 ha minimo e poi è crescente, allora vorrà dire che per [tex]x=2[/tex] avrà un massimo, punto.
Ma a me non è chiara....e il grafico (che dovrebbe essere corretto...non lo fa vedere questo massimo....)
P.S...il grafico continua a salire verso infinito.....come si vede da quello che ho postato.
Il mio problema è che il dominio è:
[tex]]-\infty,00,+\infty[[/tex]
Dato che ho trovato che la funzione è crescente per [tex]x>1[/tex] significa che tende a più infinito.
Quindi nell'intervallo [tex][\frac{1}{2},2][/tex]
Mi risulta che abbia il minimo...in [tex]x=1[/tex] e ci siamo, ma poi cresce sempre quindi tendendo a più inifnito per me il massimo non lo può avere......(so che non posso contraddire Weierstrass).
A meno che.....siccome so che nell'intervallo in questione per x=1 ha minimo e poi è crescente, allora vorrà dire che per [tex]x=2[/tex] avrà un massimo, punto.
Ma a me non è chiara....e il grafico (che dovrebbe essere corretto...non lo fa vedere questo massimo....)
P.S...il grafico continua a salire verso infinito.....come si vede da quello che ho postato.
se tu hai trovato che tende a +infinito sia per $x->0^+$ sia per $x->+oo$, insieme con il segno della derivata e con il minimo $f(1)=1$, vuol dire che in $[1/2,1]$ il massimo è $f(1/2)$ e in $[1,2]$ il massimo è $f(2)$. il massimo assoluto che cerchi è $max{f(1/2), f(2)}=max{2*e^(3/4); 1/2*e^3}=1/2*e^3 cong 10$:
tu hai fatto una parte del ragionamento: rimanendo a "quel ramo" di grafico, cioè nell'intervallo $(1, +oo)$, questo "cresce" e passa per il punto $P(2, 1/2*e^3)$ che è il punto del grafico a ordinata maggiore nell'intervallo [1,2]. poi dal confronto con l'altra parte è anche il punto di massimo assoluto in $[1/2,2]$.
ok?
tu hai fatto una parte del ragionamento: rimanendo a "quel ramo" di grafico, cioè nell'intervallo $(1, +oo)$, questo "cresce" e passa per il punto $P(2, 1/2*e^3)$ che è il punto del grafico a ordinata maggiore nell'intervallo [1,2]. poi dal confronto con l'altra parte è anche il punto di massimo assoluto in $[1/2,2]$.
ok?
Ma è vero quello che dico io? che la funzione a 0 dalla destra scende verso 1 e risale a più infinito?
Cioè se prendo l'intervallo [tex][\frac{1}{2},2][/tex]
Allora in questa restrizione per come si comporta la funzione avrà il minimo a [tex]x=1[/tex] e massimo in [tex]x=2[/tex]
Ma si tratta di massimo assoluto in quell'intervallo giusto?
Io forse confondevo assoluto per l'intera funzione, se l'ho capito allora assume quegli estremi assoluti in quell'intervallo, perchè se è crescente per [tex]x>1[/tex] e prendo [tex][2,8][/tex]
Qui sarà per x=2 il minimo e x=8 il massimo giusto?
Se è così ho capito...sennò mi stupisco di me stesso.....
Cioè se prendo l'intervallo [tex][\frac{1}{2},2][/tex]
Allora in questa restrizione per come si comporta la funzione avrà il minimo a [tex]x=1[/tex] e massimo in [tex]x=2[/tex]
Ma si tratta di massimo assoluto in quell'intervallo giusto?
Io forse confondevo assoluto per l'intera funzione, se l'ho capito allora assume quegli estremi assoluti in quell'intervallo, perchè se è crescente per [tex]x>1[/tex] e prendo [tex][2,8][/tex]
Qui sarà per x=2 il minimo e x=8 il massimo giusto?
Se è così ho capito...sennò mi stupisco di me stesso.....
sì, ok.
infatti non esiste il max assoluto in $(0,+oo)$, ed è vero quello che dici per [2,8].
la perplessità di enr87 sul grafico era solo perché sembrava che ci fosse asintoto x=2, e dunque non si sarebbe potuto applicare Weierstrass ...
infatti non esiste il max assoluto in $(0,+oo)$, ed è vero quello che dici per [2,8].
la perplessità di enr87 sul grafico era solo perché sembrava che ci fosse asintoto x=2, e dunque non si sarebbe potuto applicare Weierstrass ...
Ti ringrazio tantissimo adaBTTLS.
Il tutto è nato da me che come al solito prendo troppe cantonate...e come mi ha già detto un amministratore.....forse gugo82...solo quando mi deciderò ad aprire gli occhi.........
Grazie.
Il tutto è nato da me che come al solito prendo troppe cantonate...e come mi ha già detto un amministratore.....forse gugo82...solo quando mi deciderò ad aprire gli occhi.........
Grazie.
prego!
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