Estremi di un insieme numerico
[tex]k^{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+1}}[/tex] con [tex]k>0[/tex]
Ho considerato la successione come esponenziale, che è crescente se l'esponente è maggiore di 0, decrescente altrimenti.
Studiando il segno allora ho trovato che l'esponente è sempre minore di 0.
Dunque ho dedotto di avere per n=1 il massimo e considerando il limite ho l'Inf.
Il max mi viene [tex]k^{-\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex]
Mentre l'Inf mi risulta [tex]1[/tex]
Oltre alla verifica di quanto fatto avrei una domanda imbarazzante.
Se dovessi risolvere [tex](-1)^n>0[/tex] Perchè non è mai verificata?
In teoria per n pari non dovrebbe essere vera?
Ho considerato la successione come esponenziale, che è crescente se l'esponente è maggiore di 0, decrescente altrimenti.
Studiando il segno allora ho trovato che l'esponente è sempre minore di 0.
Dunque ho dedotto di avere per n=1 il massimo e considerando il limite ho l'Inf.
Il max mi viene [tex]k^{-\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex]
Mentre l'Inf mi risulta [tex]1[/tex]
Oltre alla verifica di quanto fatto avrei una domanda imbarazzante.
Se dovessi risolvere [tex](-1)^n>0[/tex] Perchè non è mai verificata?
In teoria per n pari non dovrebbe essere vera?
Risposte
Dovresti iniziare a fare delle ipotesi su [tex]$k$[/tex]; ovvero deve essere [tex]$k>0$[/tex]!
Poi discuteremo il resto dell'esercizio
Poi discuteremo il resto dell'esercizio
"j18eos":
Dovresti iniziare a fare delle ipotesi su [tex]$k$[/tex]; ovvero deve essere [tex]$k>0$[/tex]!
Poi discuteremo il resto dell'esercizio
Urca
hai ragione....XDMe ne sono dimenticato ora lo aggiungo ma il testo dice che [tex]k>0[/tex].
Che il testo lo dica o lo sottointenda è una cosa ed esplicitarlo qui né è un'altra
Al variare di [tex]$k$[/tex] hai un insieme numerico di numeri positivi non nulli (riflettici) e se fosse [tex]$k=1$[/tex] che insieme avresti?
Poi distingui i casi che [tex]$01$[/tex]!
Al variare di [tex]$k$[/tex] hai un insieme numerico di numeri positivi non nulli (riflettici) e se fosse [tex]$k=1$[/tex] che insieme avresti?
Poi distingui i casi che [tex]$0
MAh....così ad occhio se k=1...mi sembra di avere 1 come valore, perchè il limite dovrebbe essere [tex]1^0[/tex]
....è forma indeterminata?
....è forma indeterminata?
[tex]$1^0=1$[/tex]; ti sarai confus* con [tex]$0^0$[/tex]! L'insieme che ottieni è [tex]$\{1\}$[/tex] per [tex]$k=1$[/tex].
Dunque..se non ricordo male l'esponenziale [tex]a^x[/tex] è crecente se a>1, altrimenti è decrescente.
Quindi ora....non so....il fatto che sia un esponenziale mi fa pensare di avere Sup [tex]+\infty[/tex] se k>1 e forse Inf non c'è...
Oppure devo considerare il comportamento dell'esponente?
Essendo sempre decrescente l'esponente potrei pensare che il max sia 1? e che inf non ce ne sia?
WE NEED HELP....
Quindi ora....non so....il fatto che sia un esponenziale mi fa pensare di avere Sup [tex]+\infty[/tex] se k>1 e forse Inf non c'è...
Oppure devo considerare il comportamento dell'esponente?
Essendo sempre decrescente l'esponente potrei pensare che il max sia 1? e che inf non ce ne sia?
WE NEED HELP....
Un insieme di numeri reali ha sempre estremo inferiore e superiore; questa è la proprietà di completezza dell'insieme dei numeri reali.
Ricordando che [tex]$(-1)^n=\begin{cases}1\iff n\,pari\\-1\iff n\,dispari\end{cases}$[/tex], se [tex]$k>1$[/tex] devi cercare l'estremo superiore tra gli [tex]$n$[/tex] pari e l'estremo inferiore tra gli [tex]$n$[/tex] dispari ausiliandoti con la monotonìa dell'esponenziale; per [tex]$0
Ricordando che [tex]$(-1)^n=\begin{cases}1\iff n\,pari\\-1\iff n\,dispari\end{cases}$[/tex], se [tex]$k>1$[/tex] devi cercare l'estremo superiore tra gli [tex]$n$[/tex] pari e l'estremo inferiore tra gli [tex]$n$[/tex] dispari ausiliandoti con la monotonìa dell'esponenziale; per [tex]$0
Mh...forse si.
Quindi in totale io dovrei avere 4 estremi?
Praticamente per k>1 è crescente quindi in teoria per n pari o valori positivi e sempre crescenti dell'esponenziale, quindi forse per questo lo cerco lì, e per l'inf lo cerco quando è negativo l'esponenziale.
Quando [tex]0
Praticamente con l'esponente negativo, cioè per n dispari dovrei avere dei valori crescenti....tipo:
-0.6....-0-4.....-0.1
Cioè il numero diventa più piccolo ma essendo nell'asse negativa il numero è maggiore.
Quindi per n dispari il Sup e per n pari l'inf.
Dopo ci riprovo
Quindi in totale io dovrei avere 4 estremi?
Praticamente per k>1 è crescente quindi in teoria per n pari o valori positivi e sempre crescenti dell'esponenziale, quindi forse per questo lo cerco lì, e per l'inf lo cerco quando è negativo l'esponenziale.
Quando [tex]0
Praticamente con l'esponente negativo, cioè per n dispari dovrei avere dei valori crescenti....tipo:
-0.6....-0-4.....-0.1
Cioè il numero diventa più piccolo ma essendo nell'asse negativa il numero è maggiore.
Quindi per n dispari il Sup e per n pari l'inf.
Dopo ci riprovo
Puoi ausiliarti con lo studiare la funzione continua [tex]$k^{\frac{(-1)^x}{\sqrt{x^2+1}}}$[/tex] per [tex]$x\geq0$[/tex] con [tex]$k>0$[/tex] fissato.
Mh....ma....io ho considerato i casi k>1 e 0
Nel primo caso avrò per n pari sup e per n dispari il minimo poichè k>1 e l'esponenziale è crescente.
Quindi il sup dovrebbe essere dato dal limite ad infinito che fa 1, il minimo sostituendo 1 ad n e quindi [tex]k^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}[/tex].
Mentre per [tex]0
Mi verrebbe da studiarla così....
Nel primo caso avrò per n pari sup e per n dispari il minimo poichè k>1 e l'esponenziale è crescente.
Quindi il sup dovrebbe essere dato dal limite ad infinito che fa 1, il minimo sostituendo 1 ad n e quindi [tex]k^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}[/tex].
Mentre per [tex]0
Mi verrebbe da studiarla così....
Credo che così tu abbia fatto prima.
Non voglio alimentare dubbi ma una terza voce non stonerebbe!
Non voglio alimentare dubbi ma una terza voce non stonerebbe!
Ma perchè cosa manca?
Non è fatta per entrambi i casi?
Avevamo parlato anche di k=1 e ottengo 1 come valore....che coincide con il max che ho trovato per k>1.
Non saprei cosa manca, o cosa non va...
Non è fatta per entrambi i casi?
Avevamo parlato anche di k=1 e ottengo 1 come valore....che coincide con il max che ho trovato per k>1.
Non saprei cosa manca, o cosa non va...
Chiariamo: non vedo mancanze ma non vorrei sbagliarmi, quindi per sicurezza ho scritto quel che ho scritto!
Il ragionamento fila ma, ripeto, non vorrei aver mancato in qualche dettaglio!
Il ragionamento fila ma, ripeto, non vorrei aver mancato in qualche dettaglio!
Aaaah ok ok, grazie mille.
Io ho avuto per k=1 valore 1 e quindi essendo crescente la successione il Sup lo posso dedurre quando k>1, ma avrei potuto affermarlo in ogni caso?
Cioè se la successione avesse avuto un altro qualsiasi valore per k=1 dato che è crescente avrei potuto dire che il sup è 1 per i calcoli fatti dopo visto che è crescente?
Grazie ancora.
Io ho avuto per k=1 valore 1 e quindi essendo crescente la successione il Sup lo posso dedurre quando k>1, ma avrei potuto affermarlo in ogni caso?
Cioè se la successione avesse avuto un altro qualsiasi valore per k=1 dato che è crescente avrei potuto dire che il sup è 1 per i calcoli fatti dopo visto che è crescente?
Grazie ancora.
Prego, di nulla!
Non ho minimamente capito le domande
Non ho minimamente capito le domande
DIcevo, nel "nostro" insieme abbiamo distinto tre casi:
[tex]k=1[/tex]
[tex]0
[tex]k>1[/tex]
Per k=1 abbiamo visto che la successione vale 1, ora la domanda è, anche se questo valore fosse stato...10 100 o 1000, dato che noi abbiamo visto che per k>1 è crescente la succcessione,quindi non ci importa del valore assunto in 1, perchè visto che sarà crescente sappiano che il Sup è dato dal limite a più infinito.
Giusto?
Se non sono stato chiaro...cercherò di spiegarmi meglio.
[tex]k=1[/tex]
[tex]0
[tex]k>1[/tex]
Per k=1 abbiamo visto che la successione vale 1, ora la domanda è, anche se questo valore fosse stato...10 100 o 1000, dato che noi abbiamo visto che per k>1 è crescente la succcessione,quindi non ci importa del valore assunto in 1, perchè visto che sarà crescente sappiano che il Sup è dato dal limite a più infinito.
Giusto?
Se non sono stato chiaro...cercherò di spiegarmi meglio.
Ora sei stat* chiaro ed hai detto bene! (doppio occhiolino)
(doppio occhiolino)
Yeah fratello.XD
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