Estremi di intergrazione su circonferenza non centrata nell'origine

[gcan]

considerando la funzione $xy^2-4y^2$
devo fare l'integrale di questa sull'insieme D$(x^2-8x+12+y^2<=0)$ cioè una circonferenza di centro (4,0) e raggio 2!
ora, in coordinate polari, gli estremi di integrazione sono tra 0 e 2pi e per l'integrale in $rho$??
inoltre la funzione in coordinate polari come diventa?
grazie

[Nietzsche610]

Una parametrizzazione standard per una circonferenza centrata in $C(x_0,y_0)$ è:

$\{(x=x_0+Rcos\theta),(y=y_0+Rsen\theta):}$,

quindi..

[gcan]

ok mi è chiaro, ma il mio problema sono gli estremi di integrazione di rho, tra 0 e .... $sqrtx_0$, perché??

[gcan]

cioè, perché considera dall'origine e non da 4 a 6??

[Noisemaker]

se la circonferenza fosse centrata nell'origine di raggio $2$ avresti la trasformazione:
\begin{align}
\begin{cases}
x&=\rho \cos\vartheta\\
y&=\rho\sin\vartheta
\end{cases}, \quad \rho\in[0;2],\quad\vartheta\in[0;2\pi);
\end{align}
essendo centrata nel punto $(4;0)$ la trasformazione sarà
\begin{align}
\begin{cases}
x&=4+\rho \cos\vartheta\\
y&=\rho\sin\vartheta
\end{cases}, \quad \rho\in[0;2],\quad\vartheta\in[0;2\pi).
\end{align}

[gcan]

Ok, perfetto, ma allora perché è così??

"Giugiu93":ok mi è chiaro, ma il mio problema sono gli estremi di integrazione di rho, tra 0 e .... $sqrtx_0$, perché??

[Nietzsche610]

Il caso ha voluto che $sqrt(x_0)$ fosse uguale al raggio, ma quel $2$ per il parametro $\rho$ è riferito al raggio, non al centro della circonferenza

[Noisemaker]

"Giugiu93":cioè, perché considera dall'origine e non da 4 a 6??

Dal grafico puoi notare come in realtà si tratti di una semplice traslazione. Considera un un punto $P$ di cordinate $(x;y)$ rispetto al sistema di riferimento $xOy$ rappresentato in azzurro in figura; consideriamo un nuovo sistema di riferimento $XO'Y$, in rosso, il cui centro abbia coordinate $O'(x_0;y_0).$ rispetto al vecchio sistema azzurro. Allora le coordinate del punto $P$ rispetto al nuovo sistema di riferimento saranno
\begin{align}
X&=x-x_0\\
Y&=y-y_0.
\end{align}
Come sai un punto del piano può essere individuato o grazie alle sue cooerdinate, che è quello che abbiamo sostanzilmente fatto sopra, oppure può essere individuato tramite la sua distanza dall'origine; allora detta $\rho$ la distanza di $P$ dall'origine del sistema azzurro, resta individuato un angolo che il segmento $\bar{OP}$ forma con l'asse delle $x$ che indichiamo con $\vartheta.$ Dalla trigonometria elementare, possiamo ricavarci le seguenti relazioni rispetto al sistema azzurro:
\begin{align}
x&=\rho\cos \vartheta\\
y&=\rho\sin \vartheta,
\end{align}
e conseguentemente rispetto al sistema in rosso:
\begin{align}
x&=X+\rho\cos \vartheta\\
y&=X+\rho\sin \vartheta.
\end{align}