Estremi di integrazione
Salve a tutti, ho incontrato dei problemi con questo integrale che penso sia abbastanza fattibile però il mio risultato e quello del libro dove ho preso l'esercizio non coincidono 
. Se potete aiutarmi a capire gli estremi di integrazione vi ringrazio:
$ int int e^{x+y} dx dy $
dove la regione d'integrazione è data da S={(x,y)| $ |x|+|y|leq 1 $ }
. Se potete aiutarmi a capire gli estremi di integrazione vi ringrazio:$ int int e^{x+y} dx dy $
dove la regione d'integrazione è data da S={(x,y)| $ |x|+|y|leq 1 $ }
Risposte
Non vorrei sbagliare, ma a me verrebbe una cosa del genere:
\[\int_{-1}^{1}\left(\int_{-1}^{1}e^{x+y}dy \right)dx\]
Attenderei conferme.
\[\int_{-1}^{1}\left(\int_{-1}^{1}e^{x+y}dy \right)dx\]
Attenderei conferme.
Hai capito com'e fatta la regione d'integrazione ?
ho provato a farlo in questo modo ma mi da un risultato sbagliato. facendolo così a me esce $ e^{2}-e^{-2}-2 $ . L'ho svolto anche ponendo come estremi di integrazione $ -1leq xleq 1 $ , $ -1-xleq yleq 1-x $ ma in questo caso il risultato che mi esce è $ 2(e - e^{-1}) $ .Il risultato che mi riporta il libro è $ e - e^{-1} $ .
@maxsiviero: le limitazioni non sono quelle. Il quadrato che si ottiene non ha il lati paralleli agli assi cartesiani, ma perpendicolari alle bisettrici dei quadranti. Infatti una facile verifica porta ad identificare i vertici di quel quadrato con i punti $(\pm1,0),\ (0,\pm 1)$. A questo punto le limitazioni cosa diventano? (Suggerimento: il dominio va spezzato in due parti).
Ci provo:
\[\int_{-1}^{1}\left(\int_{-1}^{|x|-1}e^{x+y}dy\right)dx+\int_{-1}^{1}\left(\int_{1-|x|}^{1}e^{x+y}dy\right)dx\]
\[\int_{-1}^{1}\left(\int_{-1}^{|x|-1}e^{x+y}dy\right)dx+\int_{-1}^{1}\left(\int_{1-|x|}^{1}e^{x+y}dy\right)dx\]
Mmmmm... sì, ci sta... sto solo pensando se hai davvero bisogno di quei valori assoluti.
EDIT: anzi no! Non ci sta un cavolo!
Se vuoi normalizzarlo rispetto ad $x$, dovrai spezzare il dominio in modo da avere $-1\le x\le 0$, $0\le x\le 1$.
EDIT: anzi no! Non ci sta un cavolo!
Se vuoi normalizzarlo rispetto ad $x$, dovrai spezzare il dominio in modo da avere $-1\le x\le 0$, $0\le x\le 1$.
Dunque:
\[\int_{-1}^{0}\left(\int_{0}^{1-|x|}e^{x+y}dy+\int_{0}^{|x|-1}e^{x+y}dy\right)dx+\int_{0}^{1}\left(\int_{1}^{1-|x|}e^{x+y}dy+\int_{-1}^{|x|-1}e^{x+y}dy\right)dx\]
\[\int_{-1}^{0}\left(\int_{0}^{1-|x|}e^{x+y}dy+\int_{0}^{|x|-1}e^{x+y}dy\right)dx+\int_{0}^{1}\left(\int_{1}^{1-|x|}e^{x+y}dy+\int_{-1}^{|x|-1}e^{x+y}dy\right)dx\]
Troppa roba. La $y$ va limitata da due funzioni dipendenti da $x$ senza il valore assoluto.
Ci riprovo:
\[\int_{-1}^{0}\left(\int_{0}^{x+1}e^{x+y}dy+\int_{0}^{x-1}e^{x+y}dy\right)dx+\int_{0}^{1}\left(\int_{1}^{x+1}e^{x+y}dy+\int_{-1}^{x-1}e^{x+y}dy\right)dx\]
\[\int_{-1}^{0}\left(\int_{0}^{x+1}e^{x+y}dy+\int_{0}^{x-1}e^{x+y}dy\right)dx+\int_{0}^{1}\left(\int_{1}^{x+1}e^{x+y}dy+\int_{-1}^{x-1}e^{x+y}dy\right)dx\]
$-1\le x\le 0,\ -1-x\le y\le 1+x$... prova l'altra!
$-1\le x\le 0,\ -1-x\le y\le 1+x$
e
$0\le x\le 1,\ x-1\le y\le 1-x$
e
$0\le x\le 1,\ x-1\le y\le 1-x$
Yes!
Ricapitolando:
\[\int_{-1}^{0}\left(\int_{-1-x}^{x+1}e^{x+y}dy\right)dx+\int_{0}^{1}\left(\int_{x-1}^{1-x}e^{x+y}dy\right)dx=\int_{-1}^{0}\left[e^{x+y}\right]_{-1-x}^{1+x}dx+\int_{0}^{1}\left[e^{x+y}\right]_{x-1}^{1-x}dx=\]
\[=\int_{-1}^{0}\left(e^{2x+1}-e^{-1}\right)dx+\int_{0}^{1}\left(e-e^{2x-1}\right)dx=\frac{e^{2}-3}{2e}+\frac{1+e^{2}}{2e}=e-e^{-1}\]
\[\int_{-1}^{0}\left(\int_{-1-x}^{x+1}e^{x+y}dy\right)dx+\int_{0}^{1}\left(\int_{x-1}^{1-x}e^{x+y}dy\right)dx=\int_{-1}^{0}\left[e^{x+y}\right]_{-1-x}^{1+x}dx+\int_{0}^{1}\left[e^{x+y}\right]_{x-1}^{1-x}dx=\]
\[=\int_{-1}^{0}\left(e^{2x+1}-e^{-1}\right)dx+\int_{0}^{1}\left(e-e^{2x-1}\right)dx=\frac{e^{2}-3}{2e}+\frac{1+e^{2}}{2e}=e-e^{-1}\]
L'ho fatto 
grazie mille per l'aiuto.
grazie mille per l'aiuto.
Scusate ragazzi non avevo nemmeno visto la seconda pagina dei commenti dove l'esercizio era già svolto.Vabbè vi ringrazio lo stesso perchè siete stati comunque illuminanti
potrei proporvi un altro integrale??questo però secondo me è un pò più difficile!
potrei proporvi un altro integrale??questo però secondo me è un pò più difficile!
Prova. Gli esercizi sono sempre utili.
Calcolare l'integrale doppio $ int int_(S) (x)^(2) (y)^(2) dx dy $ ; dove S è la porzione limitata dal primo quadrante compresa tra le due iperboli xy=1, xy=2 e le due rette y=x e y=4x.
Può essere conveniente una sostituzione, anzi due:
$u=xy$ e $v=y/x$. In questo modo hai che $1<=u<=2$ e che $1<=v<=4$.
$x^2 *y^2= u^2$ . Ricorda che devi calcolarti lo Jacobiano
$u=xy$ e $v=y/x$. In questo modo hai che $1<=u<=2$ e che $1<=v<=4$.
$x^2 *y^2= u^2$ . Ricorda che devi calcolarti lo Jacobiano
Una nota semantica. quella che ha indicato Gi8 è UNA sostituzione!
"ciampax":
Una nota semantica. quella che ha indicato Gi8 è UNA sostituzione!
Sicuro?Prima sostituzione: $u=xy$
Seconda sostituzione: $v=y/x$
O no
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