Estremi di integrazione
salve devo impostare gli estremi di integrazione del seguente esercizio:
Calcolare l'integrale di f(x; y) = 24 esteso a $ D= {(x,y) in RR^(2): x+(x)^(2) leq y leq 0 } $
(A) 24
(B) 4
(C) 0
(D) 12
Per risolvere il seguente esercizio, mi sono disegnato sul piano cartesiano le funzioni y=x e Y=x^2 come nela foto allegata. Da qui si vede che devo integrare per tutti i valori all'interno della parabola. Ma che estremi devo metttere? Gli estremi dell'integrale in dx ci sono già ma quelli in dx. Ho trovato i punti di intersezione della parabola con l'asse delle x ponendo x+x^2=0 da cui trovo x=0 e x=-1. Ma non mi sembrano gli estremi corretti osservando il grafico. Come devo fare?
Calcolare l'integrale di f(x; y) = 24 esteso a $ D= {(x,y) in RR^(2): x+(x)^(2) leq y leq 0 } $
(A) 24
(B) 4
(C) 0
(D) 12
Per risolvere il seguente esercizio, mi sono disegnato sul piano cartesiano le funzioni y=x e Y=x^2 come nela foto allegata. Da qui si vede che devo integrare per tutti i valori all'interno della parabola. Ma che estremi devo metttere? Gli estremi dell'integrale in dx ci sono già ma quelli in dx. Ho trovato i punti di intersezione della parabola con l'asse delle x ponendo x+x^2=0 da cui trovo x=0 e x=-1. Ma non mi sembrano gli estremi corretti osservando il grafico. Come devo fare?
Risposte
Non vedo cosa c'entri la funzione $y = x$ in tutto questo..
perchè c'è y=x+x^2 che non so come potrei rappresentarla diversamente
"Procopio":
c'è $y=x+x^2$ che non so come potrei rappresentarla diversamente
1) Non dimenticare i dollari.
2) Tale funzione rappresenta una parabola, non capisco cosa tu intenda quando dici che non sai rappresentarla.
Ma c'è anche bisogno di fare i conti?
Praticamente vuoi determinare il volume di un solido con altezza [tex]$h=24$[/tex] e con base un segmento di parabola; il volume di un tale solido è uguale al prodotto dell'area della base [tex]$A$[/tex] per l'altezza [tex]$h$[/tex]; l'area della base coincide col valore assoluto dell'area con segno sottesa tra l'asse delle ascisse e la parabola d'equazione [tex]$y=x+x^2$[/tex]; quindi tutto il problema si risolve calcolando un integrale di una funzione di una variabile, prendendone il valore assoluto e moltiplicandolo per [tex]$24$[/tex]...
Insomma:
[tex]$\iint_D f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y=24 \left| \int_{-1}^0 (x+x^2)\ \text{d} x\right|=24 \left| \left[ \frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^0\right| =4$[/tex].
Praticamente vuoi determinare il volume di un solido con altezza [tex]$h=24$[/tex] e con base un segmento di parabola; il volume di un tale solido è uguale al prodotto dell'area della base [tex]$A$[/tex] per l'altezza [tex]$h$[/tex]; l'area della base coincide col valore assoluto dell'area con segno sottesa tra l'asse delle ascisse e la parabola d'equazione [tex]$y=x+x^2$[/tex]; quindi tutto il problema si risolve calcolando un integrale di una funzione di una variabile, prendendone il valore assoluto e moltiplicandolo per [tex]$24$[/tex]...
Insomma:
[tex]$\iint_D f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y=24 \left| \int_{-1}^0 (x+x^2)\ \text{d} x\right|=24 \left| \left[ \frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^0\right| =4$[/tex].
Salve, ho guardato l'esercizio precedente ma non riesco a trovare la soluzione di questo esercizio riconducendomi a quello perchè comunque in quell'esercizio viene svolto un integrale e non della funzione ma del dominio e poi moltiplicato per la funzione che è una costante costante.
A me è stato insegnato di disegnarmi il grafico e da li trovare gli estremi come ho specificato sopra. Sicuramente in questo esrcizio c'è qualche nozione teorica che mi manca. Se per piacere me la spiega forse capisco oppure mi dice l'argomento di analisi da andare a rivedere.....grazie
A me è stato insegnato di disegnarmi il grafico e da li trovare gli estremi come ho specificato sopra. Sicuramente in questo esrcizio c'è qualche nozione teorica che mi manca. Se per piacere me la spiega forse capisco oppure mi dice l'argomento di analisi da andare a rivedere.....grazie
Il fatto è che, se nel caso di funzioni di una variabile l'integrale rappresenta l'area del rettangoloide sotto il grafico della funzione (che è una curva), nel caso di funzioni di due variabili, l'integrale rappresenta il volume del cilindroide sotto il grafico della funzione (che è una superficie).
Nel tuo caso, la funzione è una costante, quindi rappresenta un piano parallelo al piano [tex]$(x,y)$[/tex] ma che sta ad altezza [tex]$24$[/tex].
Il tuo dominio è un segmento parabolico, quindi il solido è come un cilindro, ma come base ha il segmento parabolico invece che la circonferenza.
Tra l'altro, potevi risolverlo anche senza integrali, perché è nota l'area di una segmento parabolico, grazie ad Archimede.
In ogni caso, è semplice trovare gli estremi di integrazione. Se disegni la parabola, ti accorgi subito di come è fatto il tuo dominio normale. Trova le intersezioni con l'asse x e ti accorgerai che è il seguente [tex]$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | -1 \leq x \leq 0, \, x+x^2 \leq y \leq 0 \}$[/tex].
Nel tuo caso, la funzione è una costante, quindi rappresenta un piano parallelo al piano [tex]$(x,y)$[/tex] ma che sta ad altezza [tex]$24$[/tex].
Il tuo dominio è un segmento parabolico, quindi il solido è come un cilindro, ma come base ha il segmento parabolico invece che la circonferenza.
Tra l'altro, potevi risolverlo anche senza integrali, perché è nota l'area di una segmento parabolico, grazie ad Archimede.
In ogni caso, è semplice trovare gli estremi di integrazione. Se disegni la parabola, ti accorgi subito di come è fatto il tuo dominio normale. Trova le intersezioni con l'asse x e ti accorgerai che è il seguente [tex]$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | -1 \leq x \leq 0, \, x+x^2 \leq y \leq 0 \}$[/tex].
ok, infatti io ho fatto in quel modo è ho trovato gli stessi intervalli e facendo gli integrali ho trovato lo stesso risultato. Il problema ora era per l'esercizio in cui mi avete risposto mandandomi il link di questo esercizio. E cioè se integrare tra -2 e 2 o tra 0 e pgreco
Quale link? Non l'ho visto quest'altro esercizio. Potresti riscriverlo qui o mandarmi il link?
EDIT: l'ho trovato, ora ti rispondo dillà.
EDIT: l'ho trovato, ora ti rispondo dillà.
come si fa un link?
ok
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