Estremi di integrazione
Ciao a tutti,
ho bisogno di integrare una funzione su di una superficie composta da un piano come rappresentato in figura;
ho difficoltà nel trovare gli estremi di integrazione...
Un aiuto?
Grazie
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ho bisogno di integrare una funzione su di una superficie composta da un piano come rappresentato in figura;
ho difficoltà nel trovare gli estremi di integrazione...
Un aiuto?
Grazie
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Risposte
"Didodock":
Ciao a tutti,
ho bisogno di integrare una funzione su di una superficie composta da un piano come rappresentato in figura;
ho difficoltà nel trovare gli estremi di integrazione...
Un aiuto?
Grazie
Ovviamente devi passare attraverso una r.p. del piano per calcolare l'integrale superficiale.
Scrivi l'equazione cartesiana del piano in questione, esplicita quest'equazione rispetto alla variabile che ti fa più comodo (ad esempio $z$) e per determinare l'intervallo base della r.p. trovata guarda alla proiezione del piano sul piano coordinato che non contiene l'asse della variabile rispetto alla quale hai esplicitato l'equazione del piano (ad esempio $Oxy$).
Grazie della risposta;
l'equazione cartesiana del piano trovata mediante il determinante ha la seguente forma:
f(x,y,z)=yL^2+LZ-L^2
che stranamente non risulta essere dipendente da x...
non ho comunque capito come trovare gli estremi di integrazione
Grazie
l'equazione cartesiana del piano trovata mediante il determinante ha la seguente forma:
f(x,y,z)=yL^2+LZ-L^2
che stranamente non risulta essere dipendente da x...
non ho comunque capito come trovare gli estremi di integrazione
Grazie
Dalla figura capisco che il piano $pi$ in questione è uno dei piani diagonali del cubetto di lato $L$ situato nella regione di spazio definita dalle limitazioni ${xge0,yge0,zge0}$ (insomma il primo triedro del sistema $Oxyz$): in altri termini, tale cubetto si identifica con l'insieme:
$C=[0,L]^3={(x,y,z)in RR^3: x,y,z in [0,L]}$.
L'equazione di $pi$ la ricavo facilmente perchè, nella mia interpretazione della figura, esso è il piano ortogonale al vettore $(0,1,1)$ passante per il punto di coordinate $(0,0,L)$: quindi:
$pi:quad 0*(x-0)+1*(y-0)+1(z-L)=0quad$ ossia $quad pi:quad y+z-L=0$.
La parte $S$ di $pi$ contenuta nel cubetto $C$ è rappresentata dall'insieme:
$S={(x,y,z)in RR^3: x,y,z in [0,L] " e " y+z-L=0} quad$ ossia $quad S={(x,y,z) in RR^3: x,y,z in [0,L] " e " z=L-y}$;
dato che per $yin[0,L]$ si ha $z=L-y in [0,L]$, la condizione $z in [0,L]$ è ridondante e perciò la posso eliminare dalla proprietà caratteristica dei punti di $S$ senza perdere informazioni: insomma posso scrivere senza preoccupazioni:
$S={(x,y,z) in RR^3: x,y in [0,L] " e " z=L-y}$
e ciò mi dice che la superficie $S=picap C$ non è altro che il grafico della restrizione a $[0,L]^2 subset RR$ della funzione $z(x,y)=L-y$.
Se $f:S to RR$ è la funzione dhe vuoi integrare, l'intergale di superficie di $f$ esteso ad $S$ puoi, per quanto detto sopra, esprimerlo come segue:
$\int_s f " d"sigma=\int_0^L\int_0^L f(x,y,L-y)*sqrt2" d"x" d"y$
(evidentemente $sqrt2$ è la norma del vettore normale ad $S$ indotto dalla r.p., ossia la norma di $(0,1,1)$).
Spero di essermi spiegato bene. Se rimanono dubbi o se ho sbagliato ad interpretare la figura, posta di seguito.
Buono studio.
$C=[0,L]^3={(x,y,z)in RR^3: x,y,z in [0,L]}$.
L'equazione di $pi$ la ricavo facilmente perchè, nella mia interpretazione della figura, esso è il piano ortogonale al vettore $(0,1,1)$ passante per il punto di coordinate $(0,0,L)$: quindi:
$pi:quad 0*(x-0)+1*(y-0)+1(z-L)=0quad$ ossia $quad pi:quad y+z-L=0$.
La parte $S$ di $pi$ contenuta nel cubetto $C$ è rappresentata dall'insieme:
$S={(x,y,z)in RR^3: x,y,z in [0,L] " e " y+z-L=0} quad$ ossia $quad S={(x,y,z) in RR^3: x,y,z in [0,L] " e " z=L-y}$;
dato che per $yin[0,L]$ si ha $z=L-y in [0,L]$, la condizione $z in [0,L]$ è ridondante e perciò la posso eliminare dalla proprietà caratteristica dei punti di $S$ senza perdere informazioni: insomma posso scrivere senza preoccupazioni:
$S={(x,y,z) in RR^3: x,y in [0,L] " e " z=L-y}$
e ciò mi dice che la superficie $S=picap C$ non è altro che il grafico della restrizione a $[0,L]^2 subset RR$ della funzione $z(x,y)=L-y$.
Se $f:S to RR$ è la funzione dhe vuoi integrare, l'intergale di superficie di $f$ esteso ad $S$ puoi, per quanto detto sopra, esprimerlo come segue:
$\int_s f " d"sigma=\int_0^L\int_0^L f(x,y,L-y)*sqrt2" d"x" d"y$
(evidentemente $sqrt2$ è la norma del vettore normale ad $S$ indotto dalla r.p., ossia la norma di $(0,1,1)$).
Spero di essermi spiegato bene. Se rimanono dubbi o se ho sbagliato ad interpretare la figura, posta di seguito.
Buono studio.
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