Estremi di funzione in tre variabili con vincolo definito da disequazione
Ciao a tutti! Avrei bisogno di capire come procedere nella risoluzione del seguente problema:
"Determinare gli estremi relativi della funzione definita dalla legge:
\(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-x \)
Trovare poi, se esistono, gli estremi assoluti nell’insieme:
\(\displaystyle D = { (x,y,z) \in {IR}^3 : x^2 + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} \leq 1} \) "
Io inizierei così: utilizzerei il metodo canonico con derivate prime nulle e hessiana per trovare gli estremi relativi, poi per trovare quelli nel vincolo, per quanto riguarda il bordo: \(\displaystyle x^2 + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} = 1 \) utilizzerei il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Non so però come trovare quelli interni al vincolo... cioè quelli per cui \(\displaystyle x^2 + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} < 1 \) perché 1)non saprei come immaginare questa curva
e 2)di solito quando ho un problema di estremi con disequazioni come vincoli cerco col metodo canonico gli estremi dentro al vincolo (quindi sempre con derivate prime nulle e poi hessiana) e col metodo dei moltiplicatori o con la parametrizzazione gli estremi sul bordo del vincolo. Ma qui non so come comportarmi.. e non so sinceramente come andare a cercare nello specifico gli estremi assoluti all'interno del vincolo 
Qualcuno sa come risolverlo? Potreste spiegarmi i passaggi esatti per cercare in particolare i punti di estremo assoluti? Grazie in anticipo!
"Determinare gli estremi relativi della funzione definita dalla legge:
\(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-x \)
Trovare poi, se esistono, gli estremi assoluti nell’insieme:
\(\displaystyle D = { (x,y,z) \in {IR}^3 : x^2 + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} \leq 1} \) "
Io inizierei così: utilizzerei il metodo canonico con derivate prime nulle e hessiana per trovare gli estremi relativi, poi per trovare quelli nel vincolo, per quanto riguarda il bordo: \(\displaystyle x^2 + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} = 1 \) utilizzerei il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Non so però come trovare quelli interni al vincolo... cioè quelli per cui \(\displaystyle x^2 + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} < 1 \) perché 1)non saprei come immaginare questa curva
e 2)di solito quando ho un problema di estremi con disequazioni come vincoli cerco col metodo canonico gli estremi dentro al vincolo (quindi sempre con derivate prime nulle e poi hessiana) e col metodo dei moltiplicatori o con la parametrizzazione gli estremi sul bordo del vincolo. Ma qui non so come comportarmi.. e non so sinceramente come andare a cercare nello specifico gli estremi assoluti all'interno del vincolo Qualcuno sa come risolverlo? Potreste spiegarmi i passaggi esatti per cercare in particolare i punti di estremo assoluti? Grazie in anticipo!
Risposte
Nessuno? 
Ciao!
Quando cerchi gli estremi relativi in generale, li stai chiaramente cercando ANCHE dentro il vincolo.
Devi soltanto verificare che i punti trovati stiano effettivamente nel vincolo, per sapere se considerarli o meno. Nel caso in questione, si ha come punto di estremo relativo soltanto $(1/2,0,0)$ che appartiene all'insieme $D$. Quindi tra i punti candidati come estremi assoluti in $D$, all'INTERNO del vincolo, hai soltanto quel punto. Adesso non ti resta che controllare i punti in cui non esiste il gradiente di $f$ (cioè nessuno) ed i punti sulla frontiera del vincolo ad esempio utilizzando i moltiplicatori di Lagrange.
Quando cerchi gli estremi relativi in generale, li stai chiaramente cercando ANCHE dentro il vincolo.
Devi soltanto verificare che i punti trovati stiano effettivamente nel vincolo, per sapere se considerarli o meno. Nel caso in questione, si ha come punto di estremo relativo soltanto $(1/2,0,0)$ che appartiene all'insieme $D$. Quindi tra i punti candidati come estremi assoluti in $D$, all'INTERNO del vincolo, hai soltanto quel punto. Adesso non ti resta che controllare i punti in cui non esiste il gradiente di $f$ (cioè nessuno) ed i punti sulla frontiera del vincolo ad esempio utilizzando i moltiplicatori di Lagrange.
Grazie per la risposta 
Tutto chiaro adesso, ma.. i punti in cui non esiste il gradiente come li controllo?
Tutto chiaro adesso, ma.. i punti in cui non esiste il gradiente come li controllo?
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