Estremi di famiglia di insiemi numerici dipendenti da h e k

[mgiaff]

Devo risolvere questo esercizio:

Sia $ NN $ l'insieme dei numeri naturali (positivi). Per $ n in NN $ si ponga

$ S_n = { h / n - arctan( k / n ) : h, k in NN uu { 0 } } $

Siano quindi $ A = uu_(n=1)^(oo) S_n $ e $ B = nn_(n=1)^(oo) S_n $. Determinare gli estremi inferiore e superiore di A e di B e individuare gli insiemi $ A' $ e $ B' $ (rispetto alla metrica euclidea di $ RR $). Rispondere infine al quesito analogo formulato sostituendo a $ S_n $, per ogni $ n $, l'insieme

$ T_n = { h / n - arctan( k / n ) : h, k in NN } $

Tutti questi parametri mi mandano in casino. Qualche idea su come risolverlo senza impazzire? xD

[j18eos]

Ti posso dare un'aiuto non certo: l'arcotangente è una funzione monotona crescente ad estremo superiore [tex]\pi/2[/tex] e non negativa per [tex]x\geq0[/tex], la funzione fratta ha estremo superiore [tex]+\infty[/tex] ed estremo inferiore [tex]0[/tex] quindi l'estremo superiore degli [tex]S_n[/tex]; ed analogamente dei [tex]T_n[/tex], è [tex]+\infty[/tex], da ciò si hanno gli estremi superiori degli [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] sono [tex]+\infty[/tex], mentre l'estremo inferiore [tex]S_n[/tex]; ed analogamente dei [tex]T_n[/tex], è [tex]0[/tex] da ciò si ha che gli estremi inferiori degli [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] sono 0.

Domanda: che insiemi topologici intendi per A' e B'?

[mgiaff]

$ A' $ e $ B' $ sono gli insiemi derivati, ovvero gli insiemi dei punti di accumulazione.


Comunque anche io ovviamente avevo fatto il tuo ragionamento, però per $ n -> oo $ otteniamo come unico elemento dell'insieme $ S_oo $ il valore $ 0 $ (a meno che non facciamo tendere ad $ oo $ anche gli altri due parametri, ma in questo caso non sono in grado di risolvere le forme di indecisione, essendoci due "cose diverse" che vanno a $ oo $)...
D'altra parte, a livello puramente intuitivo, all'aumentare di $ n $ si ha che gli insiemi sono sempre più densi e sembrerebbero essere sempre più vicini ad una sorta di $ QQ^+ uu { 0 } $.

Decidere come sia $ S_n $ per $ n -> oo $ mi sembra importante, perché se per $ A $ (unione) non cambia molto, per $ B $ invece (intersezione) è fondamentale! Se si scopre che $ S_oo = { 0 } $, allora gli estremi superiore ed inferiore sono entrambi $ 0 $.


Magari le mie sono una montagna di castronerie...

[j18eos]

Il tuo ragionamento è più corretto del mio! Resta ovviamente il dubbio sui parametri h e k che si può risolvere poiché essi sono numeri e non infiniti, il limite è non su di essi per cui il tuo ragionamento è esatto!

Sui derivati ci penserò!

[mgiaff]

Premesse:
$S_n={h/n - arctg(k/n) : h, k in NN uu {0} }$
$A = uu_(n=1)^{+ infty} S_n$
$B = nn_(n=1)^{+ infty} S_n$

$T_n = {bar(h)/n - arctg(bar(k)/n) : bar(h), bar(k) in NN }$
$bar(A) = uu_(n=1)^{+ infty} T_n$
$bar(B) = nn_(n=1)^{+ infty} T_n$



Io ho provato a fare il seguente ragionamento:

[*:1qw7btyc]$A$ è l'insieme unione dei punti del tipo $h/n$ (punti che, uniti al variare di $n$, coprono l'intervallo $[ 0 , +infty ) in QQ$) a cui vengono sommati i punti del tipo $-arctg(k/n)$ (ovvero i punti che, uniti al variare di $n$, coprono l'intervallo $[- pi / 2 , 0 ] in RR $). Pertanto, le somme tra numeri di questi intervalli (cioè $A$) coprono tutto l'intervallo $[- pi / 2 , +infty) in RR$.

Quindi, abbiamo:
[tex]\mathrm{sup} A = + \infty[/tex], basta prendere $h=1$ e $n->+oo$ ($AA k$)
[tex]\mathrm{inf} A = - \pi / 2[/tex], basta prendere $k=1$ e $n->+oo$ ($AA h$)
[tex]A' = \left [ - \pi / 2 , + \infty \right )[/tex]. Infatti in $RR$ con la metrica euclidea, il derivato di un intervallo è lo stesso intervallo comprendente gli estremi.
[/*:m:1qw7btyc]
[*:1qw7btyc]$bar(A) = A$. Infatti il valore $0$ (l'unico che non si possa determinare fissando due valori naturali di $bar(h)$ e $bar(k)$) si ottiene per $n-> +infty$ e $bar(h)$ e $bar(k)$ qualsiasi.

Si trovano quindi gli stessi estremi e lo stesso insieme derivato:
[tex]\mathrm{sup} \overline{A} = + \infty[/tex]
[tex]\mathrm{inf} \overline{A} = - \pi / 2[/tex]
[tex]\overline{A}' = \left [ - \pi / 2 , + \infty \right )[/tex].
[/*:m:1qw7btyc]
[*:1qw7btyc]$B = {0}$, infatti si ha che se $n->infty$, $S_n = {0}$ $AA h, k in NN$. L'intersezione degli $S_n$ è quindi l'insieme ${0}$.

Gli estremi, quindi, sono:
[tex]\mathrm{sup} B = 0[/tex]
[tex]\mathrm{inf} B = 0[/tex]
[tex]B' = \emptyset[/tex], infatti $B$ è un singleton e per ogni punto di $RR$ esiste un intorno $I$ di raggio sufficientemente piccolo tale che $I nn B = O/ $.
[/*:m:1qw7btyc]
[*:1qw7btyc]$bar(B) = \emptyset$. Infatti $T_(infty) = {0}$, ma $0 !in T_1$.

[tex]\nexists \mathrm{sup} \overline{B}[/tex]
[tex]\nexists \mathrm{inf} \overline{B}[/tex]
[tex]\overline{B}' = \emptyset[/tex][/*:m:1qw7btyc][/list:u:1qw7btyc]



Di alcuni punti dello svolgimento non sono molto sicuro xD

[j18eos]

Mi trovo!