Estremi assoluti,sviluppo MClaurin!aiuto!
Ciao a tutti!ho cercato di fare que3sti esercizi e vorrei una piccola conferma per andare avanti con la mia preparazione in vista di un appello importante,ecco riportati gli esercizi con la presunta soluzione:
1)= data la
`f(x)= cosx/(2+sinx)` determinare gli estremi assoluti nell'intervallo `-(pi)/2<=x<=pi`
io ho risolto calcolando la derivata prima che è:
`f'(x)=(-2sinx-1)/(2+sinx)^2`
e ho trovato che `f'(x)=>0 `quando `11pi/6<=x<=7pi/6` (ho analizzato il solo numeratore)
ma vedendo che deve essere compresa in quell intervallo ho visto che estremi relativi in quel int non ce ne sono in quantola funzione è crescente allora mi sono calcolato i valori agli estremi.
2)Calcolare lo sviluppo di Mclaurin al 5 ordine di
`f(x)=sqrt(cos(x^2))`;
ho risolto il solo sviluppo del `cos(x^2)` e mettendo sotto radice è uscito
`f(x)=sqrt(1 -(x^4)/(4!) +o(x^5))`
devo fare qualcosaltro?
3)Calcolare il polinomio di Taylor nel punto `x=1`;
`f(x)= (x^2)/(2-x)`
io ho risolto giocando un po con il denominatore cioè:
`x^2/(2-x) = (x^2)/(1-(x-1)) = (x^2)*(1 + (x-1)+(x-1)^2+(x-1)^3 + o(x-1)^3)`
ora devo solo risolverlo e moltiplicare il tutto e prendee le potenze e termini con gradoinferiore a tre e mi esce una cosa del tipo
`2x^3 + o(x-1)^3`
1)= data la
`f(x)= cosx/(2+sinx)` determinare gli estremi assoluti nell'intervallo `-(pi)/2<=x<=pi`
io ho risolto calcolando la derivata prima che è:
`f'(x)=(-2sinx-1)/(2+sinx)^2`
e ho trovato che `f'(x)=>0 `quando `11pi/6<=x<=7pi/6` (ho analizzato il solo numeratore)
ma vedendo che deve essere compresa in quell intervallo ho visto che estremi relativi in quel int non ce ne sono in quantola funzione è crescente allora mi sono calcolato i valori agli estremi.
2)Calcolare lo sviluppo di Mclaurin al 5 ordine di
`f(x)=sqrt(cos(x^2))`;
ho risolto il solo sviluppo del `cos(x^2)` e mettendo sotto radice è uscito
`f(x)=sqrt(1 -(x^4)/(4!) +o(x^5))`
devo fare qualcosaltro?
3)Calcolare il polinomio di Taylor nel punto `x=1`;
`f(x)= (x^2)/(2-x)`
io ho risolto giocando un po con il denominatore cioè:
`x^2/(2-x) = (x^2)/(1-(x-1)) = (x^2)*(1 + (x-1)+(x-1)^2+(x-1)^3 + o(x-1)^3)`
ora devo solo risolverlo e moltiplicare il tutto e prendee le potenze e termini con gradoinferiore a tre e mi esce una cosa del tipo
`2x^3 + o(x-1)^3`
Risposte
qualcuno che mi dice che i conti sono esatti?
Sono in grado di risolvere completamente solo il primo esercizio
Il risultato della disequazione non è corretto
lo studio del segno della derivata diventa $sinx<=-1/2$ cioè $-5/6pi<=x<=-pi/6$ che intersecato con il dominio diventa $-pi/2<=x<=-pi/6$,
quindi la funzione ha un massimo in $-pi/6$ che vale $sqrt3/3$, il minimo invece lo trovi ad un estremo e precisamente a $pi$ dove la funzione vale $-1/2$
Per gli altri esercizi devi aspettare qualcun'altro
"moreno88":
1)= data la
`f(x)= cosx/(2+sinx)` determinare gli estremi assoluti nell'intervallo `-(pi)/2<=x<=pi`
io ho risolto calcolando la derivata prima che è:
`f'(x)=(-2sinx-1)/(2+sinx)^2`
e ho trovato che `f'(x)>=0 `quando `11pi/6<=x<=7pi/6` (ho analizzato il solo numeratore)
Il risultato della disequazione non è corretto
lo studio del segno della derivata diventa $sinx<=-1/2$ cioè $-5/6pi<=x<=-pi/6$ che intersecato con il dominio diventa $-pi/2<=x<=-pi/6$,
quindi la funzione ha un massimo in $-pi/6$ che vale $sqrt3/3$, il minimo invece lo trovi ad un estremo e precisamente a $pi$ dove la funzione vale $-1/2$
Per gli altri esercizi devi aspettare qualcun'altro
grazie! 
Il secondo dovrebbe essere un polinomio, devi andare avanti e sviluppare la radice ma lo sviluppo del coseno dovrebbe essere $1 - 1/2x^4 + o(x^5)$
"moreno88":
2)Calcolare lo sviluppo di Mclaurin al 5 ordine di
`f(x)=sqrt(cos(x^2))`;
ho risolto il solo sviluppo del `cos(x^2)` e mettendo sotto radice è uscito
`f(x)=sqrt(1 -(x^4)/(4!) +o(x^5))`
devo fare qualcosaltro?
Ricorda che $AA |y|<1, sqrt(1+y)=\sum_(n=0)^(+oo)((1/2),(n))*y^n$, quindi sostituendo $y=z-1$ trovi lo sviluppo di Taylor:
$AA z in (0,2), sqrt(z)=\sum_(n=0)^(+oo) ((1/2),(n)) (z-1)^n=1+1/2 (z-1)+o((z-1)^2)$;
visto che $cosx^2 in (0,1]subset (0,2)$ per $x in (-pi/2,pi/2)$ si può sostituire $z=cos x^2$ nello sviluppo precedente e scrivere:
(*) $quad AA x in (-pi/2,pi/2), sqrt(cos x^2)=1+1/2 (cos x^2-1)+o((cos x^2-1)^2)$;
tenendo presente che $AA y in RR, cos y=\sum_(n=0)^(+oo) 1/((2n)!)y^n=1+(y^2)/2+o(y^4)$ hai il seguente sviluppo per il $cos x^2$:
$AA x in RR, cos x^2=1+1/2 x^4+o(x^6)$
da cui trai facilmente la relazione $cos x^2-1=1/2 x^4+o(x^6)$ che sostituita in (*) fornisce: $AA x in (-pi/2, pi/2)$,
$sqrt(cos x^2)=1+1/2 (1/2 x^4+o(x^6))+o((1/2 x^4+o(x^6))^2)=1+1/4 x^4+o(x^6)$.
Buono studio.
grazie tante! spero di dare un buono esame!
spero di dare un buono esame!
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