Estremi assoluti vincolati da una striscia

[Andrea18931]

Salve, devo affrontare questo problema di analisi 2. Data la funzione $f(x,y) = x^2 - (y^2 -1)^2$
1) trovare i punti critici e classificarli.
2) Data la striscia $S={-1/2<= x <= 2}$ stabilire se f ammette massimo o minimo assoluto in S.

1) Ho calcolato gradiente e hessiana per trovare (0, -1) punto di sella. Nelle soluzioni c'era scritto anche (0,0) come punto di minimo relativo ma non capisco perchè

2) non so nemmeno come partire a trovare i valori assoluti dentro la striscia. Le soluzioni sono inf $ f = -\infty $ e sup$ f = 4$ in (2,1) (2,-1)

Grazie in anticipo

[Antimius]

Per il punto 1, osserva che il gradiente di $f$ è:
$$ \nabla f(x,y) = (2x,-2(y^2-1)2y)$$
Perciò, anche $(0,0)$ è un punto estremale.

Per il punti vincolati, essendo la $x$ limitata e $-(y^2-1)^2 \leq 0$ hai che:
$$f(x,y) \leq M$$
perciò il sup è finito. Puoi applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange lungo le due rette verticali per trovare i punti estremali vincolati.
Si ha invece per $x$ fissato e $y \to \infty$ che $f(x,y) \to -\infty$, perciò la funzione è necessariamente illimitata inferiormente.

[Andrea18931]

Grazie mille

[Antimius]

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