Estremi assoluti insieme infinito

[liam-lover]

Ho la traccia:

"Individuare e classificare i punti stazionari della funzione $ f(x,y)=1/(1+x^2+y^2) $.
Trovare gli eventuali estremi assoluti di f nell'insieme $ T ={(x,y)|x^2+y^2-2x-3>=0} $."


Ho trovato prima di tutto un punto di massimo in (0,0) ponendo $ grad f=0 $.

$ { ( f_x=(-2x)/(x^2+y^2+1)^2=0 ),( f_y=(-2y)/(x^2+y^2+1)^2=0 ):} $

$ f_(x,x)=(-2(x^2+y^2+1)+8x)/(x^2+y^2+1)^3 $

$ f_(x,y)=f_(y,x)=(8y)/(x^2+y^2+1)^3 $

$ f_(y,y)=(-2(x^2+y^2+1)+8y)/(x^2+y^2+1)^3 $

$ det| ( -2 , 0 ),( 0 , -2 ) | =4 $

(0,0) punto di massimo relativo.


Successivamente ho studiato il luogo dei punti tali che $x^2+y^2-2x-3=0$,
cioè $ y=+-sqrt(3+2x-x^2) $ con dominio $ D: -1<=x<=3 $.

$ f(x,+-sqrt(3+2x-x^2)) =1/(4+2x) $

$ f'=(-2)/(4+2x)^2>=0 $

Dallo studio risulta sempre decrescente. Quindi il punto di minimo è in $ P(3, 0) $, con $ f(3,0) = 1/10 $, mentre quello di massimo in $ Q(-1, 0) $, con $ f(-1,0) = 1/2 $.


Per tutto il resto dell'insieme T, la funzione decresce man mano che i punti (x,y) si allontanano dall'origine.
Quindi quale considero come minimo assoluto? Devo scrivere che il valore di f diventa 0 quando (x,y) è infinitamente lontano?

[gugo82]

Scusa la franchezza, ma hai studiato Analisi I?

[liam-lover]

Immagino che P e Q siano l'unico risultato, allora...

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda la seconda richiesta, puoi facilmente verificarlo mediante le curve di livello:

Ad ogni modo, sono entrambi dei punti di massimo vincolati, P relativo, Q assoluto.

[gugo82]

"maxira":Immagino che P e Q siano l'unico risultato, allora...

Non devi “immaginare”, ma ragionare.