Estremi assoluti in una circonferenza
Salve ragazzi,
ho un problema con un esercizio di Analisi 2: ho una funzione $ f(x)= e^(x^2)(x^2-y^2-2)$, e mi chiede di calcolare gli estremi assoluti nel cerchio di centro l'origine e raggio 3. Ora io ho parametrizzato la circonferenza in questo modo $ {x=3cost y=3sent } con
tE[0,2pi]$. Ma come faccio a trovare gli estremi assoluti di questa circonferenza? Grazie mille!!!
ho un problema con un esercizio di Analisi 2: ho una funzione $ f(x)= e^(x^2)(x^2-y^2-2)$, e mi chiede di calcolare gli estremi assoluti nel cerchio di centro l'origine e raggio 3. Ora io ho parametrizzato la circonferenza in questo modo $ {x=3cost y=3sent } con
tE[0,2pi]$. Ma come faccio a trovare gli estremi assoluti di questa circonferenza? Grazie mille!!!
Risposte
Ci sono due modi: uno furbo e uno un po' macchinoso (moltiplicatori di Lagrange). Innanzitutto perché sicuramente ci sono massimo e minimo assoluti in questo insieme? E' fondamentale partire da questo
Io pensavo di considerare l equazione della circonferenza di centro l’origine e raggio 3 $ x^2+y^2=9 $
Sostituendo i parametri di x(t) y(t) e visto che $cos^2+sen^2 =1 $ mi rimane 6t=9 e poi quindi $t=9/6$e giusto come ragionamento?
Sostituendo i parametri di x(t) y(t) e visto che $cos^2+sen^2 =1 $ mi rimane 6t=9 e poi quindi $t=9/6$e giusto come ragionamento?
Non hai risposto alla domanda
Comunque è corretto parametrizzare la circonferenza, ora restringi la tua funzione alla circonferenza ottenendo la funzione di una variabile $h(t):=f(3cos(t),3sen(t))$. Studia questa. Non capisco cosa tu abbia fatto col $t$ sinceramente.
Comunque è corretto parametrizzare la circonferenza, ora restringi la tua funzione alla circonferenza ottenendo la funzione di una variabile $h(t):=f(3cos(t),3sen(t))$. Studia questa. Non capisco cosa tu abbia fatto col $t$ sinceramente.
$ x^2+y^2=9 $ è uguale a scrivere $ 3cos^2t+3sen^2t= 9$ e siccome $ cos^2+sen^2 =1 $ rimane $6t=9$ quindi $ t=3/2$. Quindi in definitiva studio solo la circonferenza lasciando stare la funzione iniziale parametrizzandola e vedendo se ci sono estremi assoluti con i passaggi che ho appena sovrascritto?
Ripeto: sei sicuro che massimi e minimi assoluti esistano?
La seconda uguaglianza che hai scritto non è vera. Il $3$ va pure lui al quadrato altrimenti ti risulta $3=9$ che evidentemente non è vera e sinceramente la prima riga che hai scritto non vedo come possa darti informazioni sui massimi e minimi assoluti.
Non mi pare tu abbia capito: devi studiare la funzione di UNA variabile $f(3cos(t),3sen(t))$ cioè al posto di $x,y$ nella $f$ ci metti rispettivamente $3cos(t),3sen(t)$. Una volta trovata l'espressione, dovrai studiare quella funzione di UNA variabile come si fa ad analisi I.
Ti è chiaro?
La seconda uguaglianza che hai scritto non è vera. Il $3$ va pure lui al quadrato altrimenti ti risulta $3=9$ che evidentemente non è vera e sinceramente la prima riga che hai scritto non vedo come possa darti informazioni sui massimi e minimi assoluti.
Non mi pare tu abbia capito: devi studiare la funzione di UNA variabile $f(3cos(t),3sen(t))$ cioè al posto di $x,y$ nella $f$ ci metti rispettivamente $3cos(t),3sen(t)$. Una volta trovata l'espressione, dovrai studiare quella funzione di UNA variabile come si fa ad analisi I.
Ti è chiaro?
Quindi devo studiare la funzione $(e^3cos^2t) ( 9cos^2t-9sen^2t -2) $?
Occhio che non l'hai scritta bene. E' $h(t)=(e^(3cos^2t)) ( 9cos^2t-9sen^2t -2)$.
Può esserti utile sapere che $cos^2(x)-sin^2(x)=cos(2x)$.
Può esserti utile sapere che $cos^2(x)-sin^2(x)=cos(2x)$.
Grazie mille ora non e tutto chiaro
spero ci sia un "non" di troppo nella tua ultima frase
Si effettivamente ce ne e uno di troppo... cmq andando a fare i calcoli ho visto che non ci sono ne massimi ne minimi relativi e assoluti è possibile? Perché non trovo nessun punto in cui si annulla la derivata della funzione $ h(t)$ quindi non rispetta il teorema di Fermat
ricontrolla i conti, il massimo c'è per $t=7e^3$. La domanda che mi hai posto te l'ho chiesta tre volte prima, e la risposta è: teorema di Weierstrass.
Scusami ti ripeto i passaggi che ho fatto. Allora la mia funzione ristretta alla circonferenza è $h(t)=e^(3cos^2t)(9cos(2t)-2)$. Ho fatto la derivata rispetto a $ t $ e il risultato della derivata è $ h'(t)= -3sin^2(t)*e^(3cos^2t)*(9cos2t-2)+e^(3cos^2t)*(-18sin2t) >0 $. Ma non capisco come hai fatto a trovare $ t=7e^3 $
Scusami quello è il valore del massimo, non è il punto in cui viene raggiunto. Scrivendo in modo compatto la derivata questa viene $h'(t)=-3/2 e^(3 cos^2(t)) (8 sin(2 t) + 9 sin(4 t))$. Ora riesci a dire dove si annulla?
dovrebbe essere per $ t= 0 $giusto?
Sì, ma ce ne sono anche altri... e ricorda che siamo in $[0,2*pi]$
ALLORa i punti sono $ 0,pi,2pi $ poi come devo procedere? Mi sto impallando
Non sono gli unici punti che annullano quell'espressione... sapresti trovarne altri?
No sinceramente non ne vedo altri perché se annullo il coseno la funzione non è più =0
Con due righe di MatLab, controllando la funzione in $[0,\pi]$, visto che è appunto periodica di periodo pi greco, si trova che la derivata non si annulla in soli due punti. Ecco il grafico della derivata prima
Questa si annulla in ${0,pi/2,pi,0.755,2.386,2*pi}$. Gli ultimi due valori li ho calcolati numericamente, si tratta di risolvere l'equazione goniometrica alla fine.
Con questi valori ora devi solo concludere
Questa si annulla in ${0,pi/2,pi,0.755,2.386,2*pi}$. Gli ultimi due valori li ho calcolati numericamente, si tratta di risolvere l'equazione goniometrica alla fine.
Con questi valori ora devi solo concludere
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