Estremi assoluti funzione a due variabili

[gendarius]

Salve a tutti. Un esercizio chiede di determinare i punti di critici interni a \(\displaystyle D ={x^2+y^2\leqslant 1} \) e i punti di estremo assoluto in \(\displaystyle D\) funzione \(\displaystyle f = x^3y \).

Allora i punti critici interni sono del tipo \(\displaystyle(0,y)\) e sono di sella.

Ora non so proprio come procedere per cercare gli estremi assoluti

[quantunquemente]

i punti di massimo e minimo assoluto si trovano sulla frontiera
infatti ,se stessero all'interno sarebbero anche punti di massimo e minimo relativo
parametrizzando la frontiera con
$x=costheta$
$y=sentheta$
$theta in [0,2pi]$

devi studiarti la funzione $g(theta)=cos^3thetasentheta;theta in [0,2pi]$

[gendarius]

Esatto. Calcolo la derivata prima di tale funzione, che a me viene $f'(t)=cos^2(t)(cos^2(t)-3sin^2(t))$ e la pongo uguale a zero. Essa si annulla in $\pi/2, 3\pi/2, \pi/6, 5\pi/6, 7\pi/6, 11\pi/6$ a meno di errori di calcolo. Ora?

[quantunquemente]

a questo punto,gli estremi assoluti o stanno agli estremi dell'intervallo o in qualche punto in cui si annulla la derivata
calcola il valore di $g$ in tutti questi punti e per confronto trovi i punti di minimo e massimo assoluto

[gendarius]

Grazie mille! Mi ero perso nella parte in cui dovevo calcolare la $f$ nei punti trovati prima, non avevo considerato la parametrizzazione ora viene più o meno giusto, avrò sbagliato qualche calcolo. Grazie ancora!