Estremi assoluti di $f(x,y)$
Non riesco a trovare una buona guida o esempio per un esercizio del genere:
data una funzione a due variabili, mi si chiede di trovare gli estremi assoluti in un quadrato $Q$
nel caso specifico ho questa funzione:
$f(x,y) = y^4 +x^2 y^2 +2x^2 - 2y^2 +1$
devo trovare gli estremi assoluti nel quadrato $Q=[-1,1]x[-1,1]$
ho letto che bisogna guardare negli intorni degli estremi del quadrato, ma non per svogliatezza, non riesco proprio a 'mettere mani'. Tuttavia la regione interna l'ho già studiata Inoltre in un compito molto lungo, questo 'mini esercizio' dovrebbe forse essere svolto intuendo cosa succede negli intorni....o va fatto uno studio preciso, numerico?
data una funzione a due variabili, mi si chiede di trovare gli estremi assoluti in un quadrato $Q$
nel caso specifico ho questa funzione:
$f(x,y) = y^4 +x^2 y^2 +2x^2 - 2y^2 +1$
devo trovare gli estremi assoluti nel quadrato $Q=[-1,1]x[-1,1]$
ho letto che bisogna guardare negli intorni degli estremi del quadrato, ma non per svogliatezza, non riesco proprio a 'mettere mani'. Tuttavia la regione interna l'ho già studiata Inoltre in un compito molto lungo, questo 'mini esercizio' dovrebbe forse essere svolto intuendo cosa succede negli intorni....o va fatto uno studio preciso, numerico?
Risposte
Ci provo, ma non mi ricordo già più questo tipo di esercizi. 
Puoi provare a restringere la tua funzione ai lati del quadrato, ottenendo così quattro funzioni di una variabile reale definite su intervalli chiusi e limitati e ivi continue (tipo $f(1,t)$, funzione nella sola variabile $t$, con $t\in[-1,1]$, lato di destra).
Però, ripeto: prendilo con le pinze questo suggerimento...
Puoi provare a restringere la tua funzione ai lati del quadrato, ottenendo così quattro funzioni di una variabile reale definite su intervalli chiusi e limitati e ivi continue (tipo $f(1,t)$, funzione nella sola variabile $t$, con $t\in[-1,1]$, lato di destra).
Però, ripeto: prendilo con le pinze questo suggerimento...
Il suggerimento di giuliofis è impeccabile. Devi confrontare i 4 massimi che trovi sul bordo di $Q$ (uno per ogni lato) con i valori di $f$ nei punti interni a $Q$ in cui si annulla il gradiente.
Se ci sono punti stazionari all'interno del quadrato si annulla il gradiente no?
Una volta verificato che ciò non succede, senza passare per i moltiplicatori in questo caso (vista la scarsa regolarità del vincolo), si restringe la funzione e si guarda un po' cosa fa.
Una volta verificato che ciò non succede, senza passare per i moltiplicatori in questo caso (vista la scarsa regolarità del vincolo), si restringe la funzione e si guarda un po' cosa fa.
funzione pari sia rispetto a $x$ che a $y$, con $\text{massimo}= 3$ e $\text{minimo}= 0$
vi trovate?
vi trovate?
Per non saper né leggere né scrivere, ragionerei così.
La funzione è differenziabile su tutto \( \mathbb{R}^2 \) (essendo \( C^{\infty} \) su tale insieme): è allora sufficiente studiare il gradiente di $ f $ per determinare tutti i punti di estremo.
Dunque, come ha fatto giustamente osservare Sergio:
\[ \nabla f = \mathbf{0} \Leftrightarrow \cases{2xy^2+4x=0 \\ 4y^3+2x^2y-4y=0} \]
da cui si ha che i punti critici sono \( P_1(0,0),\ P_2(0,-1),\ P_3(0,1) \)
Ora viene buona l'osservazione di robe92: la simmetria di $ f $ consente di analizzarla soltanto sulla porzione del rettangolo che si trova nel primo quadrante, cioè il rettangolo \( [0, 1] \times [0, 1] \).
La matrice Hessiana valutata in \( P_1 \) è
\[ H(P_1) = \pmatrix{4 & 0 \\ 0 & -4} \]
da cui si vede subito che \( P_1 \) è di sella.
La matrice Hessiana valutata in \( P_3 \) è
\[ H(P_3) = \pmatrix{6 & 0 \\ 0 & 8} \]
da cui si vede subito che \( P_3 \) è di minimo.
Poiché \( f(P_3) = f(P_2) \) e \( P_2, P_3 \) sono gli unici punti di estremo, essi sono di minimo assoluto.
La funzione è differenziabile su tutto \( \mathbb{R}^2 \) (essendo \( C^{\infty} \) su tale insieme): è allora sufficiente studiare il gradiente di $ f $ per determinare tutti i punti di estremo.
Dunque, come ha fatto giustamente osservare Sergio:
\[ \nabla f = \mathbf{0} \Leftrightarrow \cases{2xy^2+4x=0 \\ 4y^3+2x^2y-4y=0} \]
da cui si ha che i punti critici sono \( P_1(0,0),\ P_2(0,-1),\ P_3(0,1) \)
Ora viene buona l'osservazione di robe92: la simmetria di $ f $ consente di analizzarla soltanto sulla porzione del rettangolo che si trova nel primo quadrante, cioè il rettangolo \( [0, 1] \times [0, 1] \).
La matrice Hessiana valutata in \( P_1 \) è
\[ H(P_1) = \pmatrix{4 & 0 \\ 0 & -4} \]
da cui si vede subito che \( P_1 \) è di sella.
La matrice Hessiana valutata in \( P_3 \) è
\[ H(P_3) = \pmatrix{6 & 0 \\ 0 & 8} \]
da cui si vede subito che \( P_3 \) è di minimo.
Poiché \( f(P_3) = f(P_2) \) e \( P_2, P_3 \) sono gli unici punti di estremo, essi sono di minimo assoluto.
"Riccardo Desimini":
Dunque, come ha fatto giustamente osservare Sergio:
\[ \nabla f = \mathbf{0} \Leftrightarrow \cases{2xy^2+4x=0 \\ 4y^3+2x^2y-4y=0} \]
da cui si ha che i punti critici sono \( P_1(0,0),\ P_2(0,-1),\ P_3(0,1) \)
Attento a non dimenticarti le ipotesi del teorema di Fermat a cui fai riferimento usando questo tipo di approccio! $(0,-1)$ e $(0,1)$ appartengono palesemente al bordo dell'insieme! I punti critici nei quali il gradiente si annulla devono appartenere ad un APERTO, e quelli che hai trovato non appartengono ad un aperto, quindi sono da scartare! Solo $(0,0)$ è accettabile, ed è punto di sella con $f(0,0)=1$
Perciò è necessario uno studio della funzione nelle restrizioni ai bordi dell'insieme, servendosi della simmetria della funzione
In sostanza, ciò che mi state dicendo è che la funzione $ f $ è così definita:
\[ f : [-1,1] \times [-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \]
Nel mio approccio, ho supposto
\[ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \]
che non è il caso in questione, a quanto pare.
\[ f : [-1,1] \times [-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \]
Nel mio approccio, ho supposto
\[ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \]
che non è il caso in questione, a quanto pare.
un conto è il DOMINIO della funzione, che è per l'appunto $\mathbb{R}^2$ come hai giustamente osservato, un altro conto è l'INSIEME CHIUSO E LIMITATO $[-1,1] \times [-1,1]$ in cui andare a cercare gli estremi assoluti della funzione sfruttando il teorema di Weierstrass e le sue conseguenze.. attento!
Quindi l'unico motivo per cui il mio approccio non va bene è che il teorema di Fermat non è in grado di concludere nulla nel caso di insiemi chiusi?
Non credo che sia il fatto in sé che esista un vincolo; per esempio, se io dovessi studiare gli estremi di $ f $ in un aperto, potrei tranquillamente restringere la funzione nell'aperto senza combinare disastri, ho capito bene?
Non credo che sia il fatto in sé che esista un vincolo; per esempio, se io dovessi studiare gli estremi di $ f $ in un aperto, potrei tranquillamente restringere la funzione nell'aperto senza combinare disastri, ho capito bene?
se studi gli estremi di $f$ in un aperto allora puoi usare Fermat e le derivate successive con studio dei vari punti critici con la matrice Hessiana
Fermat non dà informazioni sui punti che appartengono ad insiemi chiusi e limitati, quindi in quel caso devi ridurti alla restrizione della funzione lungo i bordi dell'insieme che ti viene dato
Fermat non dà informazioni sui punti che appartengono ad insiemi chiusi e limitati, quindi in quel caso devi ridurti alla restrizione della funzione lungo i bordi dell'insieme che ti viene dato
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