Estremi assoluti di funzione a due variabili
Salve a tutti, sto risolvendo alcuni temi di esame di cui non dispongo della soluzione, pertanto vorrei chiedere a voi alcuni pareri.
Nel caso si tratta del seguente esercizio:
data la funzione $f(x,y) = \pi^(2x^3*y + x^5*y)$
a) stabilire se $f(x,y)$ è limitata in $R^2$
b) determinare gli estremi assoluti di $f(x,y)$ nell'insieme:
$T = {(x,y) in R^2, x^2 + y^2 <= 4; y>=x^2}$
Risoluzione:
a) Ho fatto il limite della funzione per $+$ infinito e si vede che diverge, pertanto ritengo non sia limitata.
b) ho calcolato $f_x(x,y) = 6x^2y + 5x^4y*(\pi)^(2x^3y + x^5y)*ln\pi$ e $f_y(x,y) = 2x^3+x^5*(\pi)^(2x^3y + x^5y)*ln\pi$, trovando i punti critici si ha che il sistema di equazioni da zero per $(0,y)$
e quindi sostituendo i valori $(0,y)$ in $f(x,y)$ ottengo $1$ essendo $\pi^0 = 1$.
Come devo interpretare questo aspetto?
Dovessi interpretare direi che siamo difronte ad un insieme di punti di massimo
Grazie in anticipo
Emanuele
Nel caso si tratta del seguente esercizio:
data la funzione $f(x,y) = \pi^(2x^3*y + x^5*y)$
a) stabilire se $f(x,y)$ è limitata in $R^2$
b) determinare gli estremi assoluti di $f(x,y)$ nell'insieme:
$T = {(x,y) in R^2, x^2 + y^2 <= 4; y>=x^2}$
Risoluzione:
a) Ho fatto il limite della funzione per $+$ infinito e si vede che diverge, pertanto ritengo non sia limitata.
b) ho calcolato $f_x(x,y) = 6x^2y + 5x^4y*(\pi)^(2x^3y + x^5y)*ln\pi$ e $f_y(x,y) = 2x^3+x^5*(\pi)^(2x^3y + x^5y)*ln\pi$, trovando i punti critici si ha che il sistema di equazioni da zero per $(0,y)$
e quindi sostituendo i valori $(0,y)$ in $f(x,y)$ ottengo $1$ essendo $\pi^0 = 1$.
Come devo interpretare questo aspetto?
Dovessi interpretare direi che siamo difronte ad un insieme di punti di massimo
Grazie in anticipo
Emanuele
Risposte
No, sei di fronte ad un insieme di punti stazionari. Che la funzione risulti costante lungo tali valore, poco ne cale. Quello che dovresti capire è: 1) quali di questi punti stanno nell'insieme $T$; 2) cosa succede all'Hessiana della funzione in tali punti. Inoltre, essendo un problema di massimo vincolato, dovrai poi verificare cosa accade sul bordo dell'insieme $T$ (e cioè sull'unione delle curve $x^2+y^2=4,\ y=x^2$ che lo delimitano... ovviamente anche in questo caso dovrai determinare i punti giusti).
io non sarei sicuro che $1$ sia il massimo
"ciampax":
No, sei di fronte ad un insieme di punti stazionari. Che la funzione risulti costante lungo tali valore, poco ne cale. Quello che dovresti capire è: 1) quali di questi punti stanno nell'insieme $T$; 2) cosa succede all'Hessiana della funzione in tali punti. Inoltre, essendo un problema di massimo vincolato, dovrai poi verificare cosa accade sul bordo dell'insieme $T$ (e cioè sull'unione delle curve $x^2+y^2=4,\ y=x^2$ che lo delimitano... ovviamente anche in questo caso dovrai determinare i punti giusti).
Chiaramente grazie della risposta.
In merito all'hessiana, non l'ho calcolata poichè nel mio libro ho alcuni esercizi in cui si prescinde dal suo calcolo. In particolare nell'aspetto teorico mi dice quanto segue :"Nella ricerca dei punti di massimo e minimo assoluti per una funzione differenziabile in un insieme A(con frontiera regolare) è spesso possibile prescindere dalla determinazione se un dato punto critico è di massimo o di minimo relativo" e quindi ho pensato di procedere senza calcolarmi l'hessiana.
Supponiamo per un momento di non calcolarla (vista anche la grandezza
), effettivamente devo anche sapere che cosa succede nei punti di frontiera di $T$, ho sicuramente a disposizione due punti critici che sono anche di frontiera $(0,0)$ e $(0,4)$ in questi due punti ottengo sempre che $f(x,y) =1$.Se collego questo risultato al metodo di individuazione dei minimi e massimi assoluti in un insieme T, direi che non essendoci punti critici con valori diversi tra quelli interni e di frontiera, siamo di fronte ad un insieme di punti stazionari. $(0,y)$.
Mi basta questo ragionamento per concludere?
Emanuele
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