Estremi assoluti
Avevo il seguente problema :
Determinare i valori di estremo assoluto della funzione $f(x,y) = y e^(2x)$
nell intervallo
$(x,y) in RR : x^2 + y^2 <= 5, y <= |x| + x$
Allora.
$ grad f(x,y) = (2xye^(2x),e^(2x))$ che non si annulla mai.
Controllo i punti di frontiera.
(se non sbaglio il dominio è in grigio)
Per il segmento y = 0 la $f(x,0) = 0 * e^(2x) = 0$
Per la retta y = 2x
$f(x,2x) = 2xe^(2x)$ la derivata vale
$2e^(2x) - 4xe^(2x)$ che si annulla per $x = 1/2$
$f(1/2,1) = e$
Calcolo i punti agli estremi del segmento nel domino. (devo farlo?)
$f(0,0) = 0$
$f(??,??) = ??$
a questo punto rimangono i punti nella arco di circonferenza.
$x(t) = cos(t) * sqrt(5)$
$y(t) = sen(t) * sqrt(5)$
$f(x(t),y(t)) = sqrt(5) sen(t) e ^(2 cos(t)sqrt(5))$
Se non sbaglio t dovrebbe variare da $ arctan(2) , pi$ giusto?
A questo punto mi sono fermato.
Prima di andare avanti con tutti sti seni e coseni ho sbagliato qualcosa?
Determinare i valori di estremo assoluto della funzione $f(x,y) = y e^(2x)$
nell intervallo
$(x,y) in RR : x^2 + y^2 <= 5, y <= |x| + x$
Allora.
$ grad f(x,y) = (2xye^(2x),e^(2x))$ che non si annulla mai.
Controllo i punti di frontiera.
(se non sbaglio il dominio è in grigio)
Per il segmento y = 0 la $f(x,0) = 0 * e^(2x) = 0$
Per la retta y = 2x
$f(x,2x) = 2xe^(2x)$ la derivata vale
$2e^(2x) - 4xe^(2x)$ che si annulla per $x = 1/2$
$f(1/2,1) = e$
Calcolo i punti agli estremi del segmento nel domino. (devo farlo?)
$f(0,0) = 0$
$f(??,??) = ??$
a questo punto rimangono i punti nella arco di circonferenza.
$x(t) = cos(t) * sqrt(5)$
$y(t) = sen(t) * sqrt(5)$
$f(x(t),y(t)) = sqrt(5) sen(t) e ^(2 cos(t)sqrt(5))$
Se non sbaglio t dovrebbe variare da $ arctan(2) , pi$ giusto?
A questo punto mi sono fermato.
Prima di andare avanti con tutti sti seni e coseni ho sbagliato qualcosa?
Risposte
se non hai sbagliato a ricopiare il testo, l'equazione $x^2+y^2=5$ ti descrive la circonferenza
quindi non è l'area grigia ma solo il suo "bordo curvo"
quindi non è l'area grigia ma solo il suo "bordo curvo"
hai ragione, ho corretto.
"lishi":
Calcolo i punti agli estremi del segmento nel domino. (devo farlo?)
$f(0,0) = 0$
$f(??,??) = ??$
Sì. Devi farlo. Sennò rischieresti di perdere dei punti.
Basta pensare a un triangolo con la base orizzontale e la punta in su. Se cerchi il max di $f(x,y) = y$ su questo triangolo, non riesci a trovarlo se non consideri gli "estremi".
NB: ho risposto alla domanda qui sopra perché la risposta ha validità generale.
Però non quadra il tuo disegno rispetto a:
$y <= |x| - x$
La $y$ sta "sotto" il grafico ed il grafico di $f(x) = |x| - x$ non è come l'hai disegnato!
"Fioravante Patrone":
[quote="lishi"]
Calcolo i punti agli estremi del segmento nel domino. (devo farlo?)
$f(0,0) = 0$
$f(??,??) = ??$
Sì. Devi farlo. Sennò rischieresti di perdere dei punti.
Basta pensare a un triangolo con la base orizzontale e la punta in su. Se cerchi il max di $f(x,y) = y$ su questo triangolo, non riesci a trovarlo se non consideri gli "estremi".
NB: ho risposto alla domanda qui sopra perché la risposta ha validità generale.
Però non quadra il tuo disegno rispetto a:
$y <= |x| - x$
La $y$ sta "sotto" il grafico ed il grafico di $f(x) = |x| - x$ non è come l'hai disegnato![/quote]
Upps mea culpa.
era $ |x| +x $ ho correto anche quello
Per il resto hai ragione.
In questo caso il domino della funzione sarebbe la parte del cerchio che non si vede. giusto?
In questo caso posso evitare di calcolare i due estremi perchè sarebbero calcolati quando guardo il arco di circonferenza. almeno spero xD.
"lishi":
$ |x| - x $ non è per x < 0 uguale a 0 ed per x > 0 = 2x?
no, per $x > 0$ è $|x| = x$, quindi per $x > 0$ è $ |x| - x = x - x = 0$
"Fioravante Patrone":
[quote="lishi"]
$ |x| - x $ non è per x < 0 uguale a 0 ed per x > 0 = 2x?
no, per $x > 0$ è $|x| = x$, quindi per $x > 0$ è $ |x| - x = x - x = 0$[/quote]
hai pienamente ragione, ho sbagliato io a riportare ancora.
quello giusto è
$ |x| + x$
"lishi":
In questo caso il domino della funzione sarebbe la parte del cerchio che non si vede. giusto?
sì, se il testo è coretto
"lishi":
In questo caso posso evitare di calcolare i due estremi perchè sarebbero calcolati quando guardo il arco di circonferenza. almeno spero xD.
No, mi spiace. Questi "estremi" vanno sempre esaminati perché le solite condizioni necessarie di massimo (libero o vincolato che sia) non ne tengono conto.
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