Estremanti liberi in una funzione scalare a due variabili

[Samuele201]

$f(x,y)=xe^y-ye^x$

Calcolato il gradiente per il generico punto $(x,y)$ cerco i punti per cui il gradiente si annulla: ma non riesco a trovare le soluzioni del sistema.
Consigli?

[Ska1]

Allora vediamo un po'....
${((\partial f)/(\partial x) = e^y -y*e^x = 0),((\partial f)/(\partial y) = xe^y -e^x = 0):}$

dalla prima equazione si ricava che $x = log(1/y) + y = y - log(y)$
dalla seconda equazione si ricava allo stesso modo $y = x -log(x)$

dato che c'è il sistema devono valere entrambe quindi procedendo per sostituzione abbiamo $x = x -log(x) - log(x - log(x))$ da cui $log(x) = -log(x - log(x))$, l'unico valore per cui l'identità è valida è $x=1$, da cui poi si deduce $y=1$.

Si può vedere meglio continuando la risoluzione di $log(x) = -log(x - log(x))$ da cui $x = 1/(x - log(x))$ da cui $x^2 -1 = x*log(x)$, in $x=1$ si ha l'uguaglianza, in $0 x^2 -1$, in più $\lim_{x->0^+} x*log(x) = 0$. Quindi l'unica soluzione è appunto $x=1$.

[gugo82]

"Ska":Allora vediamo un po'....
${(e^y -y*e^x = 0),(xe^y -e^x = 0):}$

Moltiplicando la prima equazione per $x$ e sottraendo le due equazioni, trovi $e^x(xy-1)=0$, che è vera se e solo se $xy=1$ ossia se $y=1/x$; sostituendo quanto trovato nella seconda equazione ottieni:

$xe^(1/x)-e^x=0$

di modo che tutto si riduce a studiare la funzione $phi(x):=xe^(1/x)-e^x$.