Estremanti di funzione convessa
Se $F$ è una funzione strettamente convessa continua sull'(n-1)-simplesso compatto di $RR^n$, posso affermare che:
- $F$ ha un unico punto di minimo $x_0$
- $x_0$ non può trovarsi sul bordo del simplesso
?
- $F$ ha un unico punto di minimo $x_0$
- $x_0$ non può trovarsi sul bordo del simplesso
?
Risposte
1) L'esistenza del minimo è Weierstrass.
2) L'unicità del punto di minimo è la stretta convessità.
3) Il punto di minimo potrebbe anche stare sul bordo: $f(x)=e^x$ su $[0,1]$.
2) L'unicità del punto di minimo è la stretta convessità.
3) Il punto di minimo potrebbe anche stare sul bordo: $f(x)=e^x$ su $[0,1]$.
Ti ringrazio. Il fatto che il punto di minimo possa trovarsi sul bordo è un problema (per quello che devo fare io ovviamente..). Ti spiego:
ho dimostrato che $F$ ha un punto critico vincolato $x_0$ all'interno del simplesso (col metodo dei moltiplicatori di lagrange); posso affermare (usando la stretta convessità di $F$) che $x_0$ è necessariamente un punto di minimo (l'unico punto di minimo di F sul simplesso)?
Oppure può darsi che $x_0$ sia -per dire- un punto di sella, e che il minimo di $F$ si trovi sul bordo del simplesso?
ho dimostrato che $F$ ha un punto critico vincolato $x_0$ all'interno del simplesso (col metodo dei moltiplicatori di lagrange); posso affermare (usando la stretta convessità di $F$) che $x_0$ è necessariamente un punto di minimo (l'unico punto di minimo di F sul simplesso)?
Oppure può darsi che $x_0$ sia -per dire- un punto di sella, e che il minimo di $F$ si trovi sul bordo del simplesso?
Non ho ben capito che cosa dici.. se parli di punto critico vincolato vuol dire che sei sul bordo, mentre hai scritto punto critico vincolato interno al simplesso. Comunque se una funzione convessa ha un punto critico (libero) allora esso e' necessariamente di minimo (non serve la stretta convessita').
Il fatto è che mi trovo su un (n-1)-simplesso di $RR^n$, per esempio un segmento in $RR^2$ o un triangolo in $RR^3$. Quindi il mio simplesso è una (n-1)-varietà di $RR^n$ con bordo. Ma allora per applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange devo privarlo del bordo (giusto?).
In questo modo trovo solo che F ha un (e uno solo) punto di critico vincolato sul simplesso senza bordo, ma non riesco ad affermare che questo punto è di minimo e che non ce ne sono altri sul bordo del simplesso.
Spero di essermi spiegato.
Comunque se mi dici che:
-un punto critico (anche vincolato) di una funzione convessa è necessariamente di minimo (vincolato)
-una funzione strettamente convessa ha al più 1 punto di minimo vincolato)
allora sono a posto, perchè posso affermare che il punto critico vincolato che ho trovato è l'unico punto di minimo di $F$ su tutto il simplesso.
In questo modo trovo solo che F ha un (e uno solo) punto di critico vincolato sul simplesso senza bordo, ma non riesco ad affermare che questo punto è di minimo e che non ce ne sono altri sul bordo del simplesso.
Spero di essermi spiegato.
Comunque se mi dici che:
-un punto critico (anche vincolato) di una funzione convessa è necessariamente di minimo (vincolato)
-una funzione strettamente convessa ha al più 1 punto di minimo vincolato)
allora sono a posto, perchè posso affermare che il punto critico vincolato che ho trovato è l'unico punto di minimo di $F$ su tutto il simplesso.
A quanto pare hai un'idea confusa su cosa sia un estremo vincolato... un punto di estremo vincolato deve stare sul bordo del simplesso, se no non e' vincolato... se tu togli il bordo al simplesso trovi un insieme aperto, e qui i punti critici sono liberi, e sono solamente gli zeri del gradiente, senza nessun teorema dei moltiplicatori di Lagrange...
Ma il mio (n-1)-simplesso senza bordo NON è un aperto di $RR^n$: se considero per esempio un segmento (1-simplesso) in $RR^2$ e gli tolgo gli estremi (il bordo), questo non è un aperto di $RR^2$, ma una 1-varietà di $RR^2$.
Se ho capito quello che dici, la situazione dovrebbe essere questa.
Il tuo simplesso è contenuto in un iperpiano $(n-1)$ dimensionale.
La restrizione di una funzione strettamente convessa a tale iperpiano è ancora una funzione strettamente convessa.
Se tale restrizione ha un punto critico interno al simplesso, per la stretta convessità tale punto critico è l'unico punto di minimo assoluto della restrizione.
Il tuo simplesso è contenuto in un iperpiano $(n-1)$ dimensionale.
La restrizione di una funzione strettamente convessa a tale iperpiano è ancora una funzione strettamente convessa.
Se tale restrizione ha un punto critico interno al simplesso, per la stretta convessità tale punto critico è l'unico punto di minimo assoluto della restrizione.
Ok direi che ci siamo
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