Estremanti assoluti in più variabili
Buonasera, sono alle prese ancora con l'annoso problema degli estremanti assoluti nelle funzioni a più variabili (ottimizzazione non vincolata). Laddove di solito ci sono alcuni trucchi per capire se un estremante sia o meno assoluto (quantomeno negli esercizi assegnati), questo mi sta creando alcune difficoltà:
(ho inserito l'immagine per semplicità).
L'individuazione dell'unico punto estremante (minimo relativo), l'origine, è piuttosto semplice (vado a memoria, però, potrei anche sbagliarmi), così come anche mostrare che la funzione non ha estremo superiore (infatti lungo uno dei due assi è illimitata), ma come mostro che il mio minimo relativo è anche assoluto?
Ringrazio in anticipo
(ho inserito l'immagine per semplicità).
L'individuazione dell'unico punto estremante (minimo relativo), l'origine, è piuttosto semplice (vado a memoria, però, potrei anche sbagliarmi), così come anche mostrare che la funzione non ha estremo superiore (infatti lungo uno dei due assi è illimitata), ma come mostro che il mio minimo relativo è anche assoluto?
Ringrazio in anticipo
Risposte
Beh, osserva che:
\[
f(x,y) = e^{-y^2} + \left(\sqrt{2}\ x + \frac{1}{\sqrt{2}}\ y\right)^2 + \frac{9}{2}\ y^2\; ,
\]
quindi...
\[
f(x,y) = e^{-y^2} + \left(\sqrt{2}\ x + \frac{1}{\sqrt{2}}\ y\right)^2 + \frac{9}{2}\ y^2\; ,
\]
quindi...
Sì, ho dimenticato di specificare che quello l'avevo subito osservato (è uno dei modi usuali), ma il fatto che la funzione sia sempre positiva mi garantisce che l'origine (in cui la funzione vale 1) sia un punto di minimo assoluto? L'esercizio, più nello specifico, mi chiede l'estremo inferiore. Come faccio a dimostrare che il punto (0,0) è di fatto l'estremo inferiore della funzione (so che questa è sempre maggiore di 0, non so se sia sempre maggiore di 1)?
Dall'uguaglianza:
\[ f(x,y) = e^{-y^2} + \left(\sqrt{2}\ x + \frac{1}{\sqrt{2}}\ y\right)^2 + \frac{9}{2}\ y^2\; , \]
trai immediatamente che:
\[
f(x,y)\geq e^{-y^2} + \frac{9}{2}\ y^2 =\phi (y^2)\; ,
\]
ove \(\phi (t) := e^{-t} + \frac{9}{2}\ t\), l'uguaglianza valendo se e solo se \(\sqrt{2}\ x + \frac{1}{\sqrt{2}}\ y=0\); dato che la funzione \(\phi\) è strettamente crescente per \(t\geq 0\), si ha:
\[
f(x,y) \color{maroon}{\geq} \phi (y^2) \color{red}{\geq} \phi (0) = 1 =f(0,0)
\]
con uguaglianza stretta sia se \(\sqrt{2}\ x + \frac{1}{\sqrt{2}}\ y\neq 0\) (perché vale la disuguaglianza stretta in \(\color{maroon}{\geq}\)) sia se \(\sqrt{2}\ x + \frac{1}{\sqrt{2}}\ y= 0\) ed \(y\neq 0\) (perché vale la disuguaglianza stretta in \(\color{red}{\geq}\)); ciò equivale a dire che:
\[
f(x,y)\geq f(0,0)
\]
con disuguaglianza stretta non appena \((x,y)\neq (0,0)\).
Pertanto \(f\) ha un minimo assoluto e proprio in \((0,0)\), sicché \(\inf_{\mathbb{R}^2} f =\min_{\mathbb{R}^2} f =f(0,0) =1\).
\[ f(x,y) = e^{-y^2} + \left(\sqrt{2}\ x + \frac{1}{\sqrt{2}}\ y\right)^2 + \frac{9}{2}\ y^2\; , \]
trai immediatamente che:
\[
f(x,y)\geq e^{-y^2} + \frac{9}{2}\ y^2 =\phi (y^2)\; ,
\]
ove \(\phi (t) := e^{-t} + \frac{9}{2}\ t\), l'uguaglianza valendo se e solo se \(\sqrt{2}\ x + \frac{1}{\sqrt{2}}\ y=0\); dato che la funzione \(\phi\) è strettamente crescente per \(t\geq 0\), si ha:
\[
f(x,y) \color{maroon}{\geq} \phi (y^2) \color{red}{\geq} \phi (0) = 1 =f(0,0)
\]
con uguaglianza stretta sia se \(\sqrt{2}\ x + \frac{1}{\sqrt{2}}\ y\neq 0\) (perché vale la disuguaglianza stretta in \(\color{maroon}{\geq}\)) sia se \(\sqrt{2}\ x + \frac{1}{\sqrt{2}}\ y= 0\) ed \(y\neq 0\) (perché vale la disuguaglianza stretta in \(\color{red}{\geq}\)); ciò equivale a dire che:
\[
f(x,y)\geq f(0,0)
\]
con disuguaglianza stretta non appena \((x,y)\neq (0,0)\).
Pertanto \(f\) ha un minimo assoluto e proprio in \((0,0)\), sicché \(\inf_{\mathbb{R}^2} f =\min_{\mathbb{R}^2} f =f(0,0) =1\).
Ti ringrazio molto, non avevo pensato all'eventualità di minorarla con una funzione di cui riesco a controllare la monotonia 
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