Estremante di funzione parametrica a due variabili
Buongiorno 
Vi presento un problema che non riesco a capire.
Mi viene data la funzione $f_\alpha (x,y)=xy+\alpha y^2+x^2$ e mi viene chiesto di stabilire per quali valori di $\alpha$ il punto $(0,0)$ è un punto estremante locale. I calcoli che ho svolto sono i seguenti:
Ho calcolato le derivate prime nelle direzioni x e y:
\[ f_{\alpha x}(x,y)=y+2x \quad f_{\alpha y}(x,y)=x+2\alpha y \]
E qui mi sembra chiaro che per ogni valore reale di $\alpha$ io abbia un punto stazionario siccome $ f_{\alpha y}(0,0)= f_{\alpha x}(0,0)=0 \quad \forall \alpha$. Valutando poi la matrice Hessiana e il suo segno tramite il metodo di Sylvester (determinante + primo elemento) stabilisco che $(0,0)$ è un estremante locale (un minimo) quando $\alpha\geq \frac{1}{4}$.
Il problema mi chiede poi di stabilire per quali di questi $\alpha$ il punto $(0,0)$ è un estremante globale. Qui ho difficoltà a valutare il comportamento globale della funzione per stabilire se e quando il punto è di minimo assoluto. In generale quando si tratta di passare dalla valutazione degli estremanti relativi a quelli globali mi trovo sempre in difficoltà: dovrei prima controllare i limiti agli estremi infiniti del dominio? Così se la funzione da qualche parte tende a +infinitio allora ogni punto di massimo dovrà per forza essere relativo e viceversa, ma potrebbero esserci altre considerazioni da fare?
Vi presento un problema che non riesco a capire.
Mi viene data la funzione $f_\alpha (x,y)=xy+\alpha y^2+x^2$ e mi viene chiesto di stabilire per quali valori di $\alpha$ il punto $(0,0)$ è un punto estremante locale. I calcoli che ho svolto sono i seguenti:
Ho calcolato le derivate prime nelle direzioni x e y:
\[ f_{\alpha x}(x,y)=y+2x \quad f_{\alpha y}(x,y)=x+2\alpha y \]
E qui mi sembra chiaro che per ogni valore reale di $\alpha$ io abbia un punto stazionario siccome $ f_{\alpha y}(0,0)= f_{\alpha x}(0,0)=0 \quad \forall \alpha$. Valutando poi la matrice Hessiana e il suo segno tramite il metodo di Sylvester (determinante + primo elemento) stabilisco che $(0,0)$ è un estremante locale (un minimo) quando $\alpha\geq \frac{1}{4}$.
Il problema mi chiede poi di stabilire per quali di questi $\alpha$ il punto $(0,0)$ è un estremante globale. Qui ho difficoltà a valutare il comportamento globale della funzione per stabilire se e quando il punto è di minimo assoluto. In generale quando si tratta di passare dalla valutazione degli estremanti relativi a quelli globali mi trovo sempre in difficoltà: dovrei prima controllare i limiti agli estremi infiniti del dominio? Così se la funzione da qualche parte tende a +infinitio allora ogni punto di massimo dovrà per forza essere relativo e viceversa, ma potrebbero esserci altre considerazioni da fare?
Risposte
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Non ho ricontrollato i tuoi calcoli, quindi li dò per buoni.
Anzitutto, sicuramente devi ragionare solo per $\alpha\ge 1/4$, in quanto altrimenti non hai neanche estremanti locali.
Ricorda poi la seguente variante del teorema di Weiestrass:
se $f:\mathbb(R)^n\to\mathbb(R)$ è continua (basta semicontinua inferiormente) ed inoltre $\lim_(||x||\to +\infty) f(x) =+\infty$, allora $f$ ammette minimo globale.
In alternativa, puoi cercare di riscrivere la tua funzione come somma di quadrati tramite il completamento del quadrato:
Osserviamo che $x^2+y^2/4+xy=(x+y/2)^2$
Aggiungo e tolgo allora $y^2/4$:
$xy+\alpha y^2+x^2+y^2/4-y^2/4 = (\alpha-1/4)y^2+(x+y/2)^2$
Dato che $\alpha\ge 1/4$ , abbiamo che la quantità sopra è sempre $\ge 0$, e per $x=y=0$ fa esattamente $0$, dunque l'origine è effettivamente un punto di minimo globale.
(Questo trucco di scrivere le robe come somma di due quadrati è abbastanza frequente)
Anzitutto, sicuramente devi ragionare solo per $\alpha\ge 1/4$, in quanto altrimenti non hai neanche estremanti locali.
Ricorda poi la seguente variante del teorema di Weiestrass:
se $f:\mathbb(R)^n\to\mathbb(R)$ è continua (basta semicontinua inferiormente) ed inoltre $\lim_(||x||\to +\infty) f(x) =+\infty$, allora $f$ ammette minimo globale.
In alternativa, puoi cercare di riscrivere la tua funzione come somma di quadrati tramite il completamento del quadrato:
Osserviamo che $x^2+y^2/4+xy=(x+y/2)^2$
Aggiungo e tolgo allora $y^2/4$:
$xy+\alpha y^2+x^2+y^2/4-y^2/4 = (\alpha-1/4)y^2+(x+y/2)^2$
Dato che $\alpha\ge 1/4$ , abbiamo che la quantità sopra è sempre $\ge 0$, e per $x=y=0$ fa esattamente $0$, dunque l'origine è effettivamente un punto di minimo globale.
(Questo trucco di scrivere le robe come somma di due quadrati è abbastanza frequente)
"Lebesgue":
(Questo trucco di scrivere le robe come somma di due quadrati è abbastanza frequente)
[ot]https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?p=169340[/ot]
Ok mi sembra chiaro grazie! Avrei potuto anche prendere la strada delle coordinate polari? Facendo la trasformazione ottengo: $f(r,\theta)=r^2*(cos(theta)sin(theta)+\alpha \sin^2(theta)+\cos^2(theta))$. La parentesi risulta positiva essendo $-1/2\leq cos(theta)sin(theta)\leq1/2$ mentre sia seno che coseno al quadrato hanno valori compresi tra 0 e 1. A questo punto essendo $r\in[0,+\infty)$ la funzione avrà un punto di minimo globale in $r=0$ che coincide con il punto (0,0).
"JimmyBrighy":
Ok mi sembra chiaro grazie! Avrei potuto anche prendere la strada delle coordinate polari? Facendo la trasformazione ottengo: $f(r,\theta)=r^2*(cos(theta)sin(theta)+\alpha \sin^2(theta)+\cos^2(theta))$. La parentesi risulta positiva essendo $-1/2\leq cos(theta)sin(theta)\leq1/2$ mentre sia seno che coseno al quadrato hanno valori compresi tra 0 e 1. A questo punto essendo $r\in[0,+\infty)$ la funzione avrà un punto di minimo globale in $r=0$ che coincide con il punto (0,0).
Okay, però per dire che la parentesi è strettamente positiva, serve sapere che $\alpha\ge 1/4$.
Se ad esempio $\alpha=-1$, allora non puoi più dire con certezza che la parentesi è positiva.
In generale, anche passando in polari io mi sarei comunque ricondotto a una specie di somma di quadrati, ovvero scrivendo $\alpha\sin^2\theta=\alpha(1-\cos^2\theta)$ o, equivalentemente, $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$,
in modo da sfruttare l'identità fondamentale $\cos^2+\sin^2=1$
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