Estremamente importante

[Principe2]

A me pare che si possa fare....

Sia $\{x_n\}$ una successione di punti in uno spazio metrico $X$.
Sia $g:X\times\bar{R^+}\rightarrow X$ una funzione continua sulla
seconda variabile $t$ ($\bar{R^+}$ denota la compattificazione dei
reali nonnegativi). Sia $t_k$ una successione crescente di
$\bar{R^+}$. Sia fissato comunque $k$, supponiamo che per ogni
$\varepsilon>0$ esiste $N(k,\varepsilon)$ tale che
$g(x_n,t_k)\leq\varepsilon$ per ogni $n>N(k,\varepsilon)$. Suppongo
inoltre che fissato $\varepsilon$, la
successione $N_k=N(k,\varepsilon)$ sia divergente.
Domanda: sfruttando la continuità della $g$ sulla seconda variabile,
detto $t_{\infty}=lim_{k\rightarrow\infty}t_k$, è possibile
affermare che $g(x_n,t_{\infty})\geq\varepsilon$ per infiniti indici
$n$?

[Luca.Lussardi]

Il problema è che se mandi $k$ all'infinito, anche $n$ ti va necessariamente all'infinito. Quindi non puoi lasciare $n$ nella formula e mandare solo $k$ all'infinito....

Ma nell'ultima formula vuoi veramente $\geq \varepsilon$?

[Principe2]

Come abbiamo visto in privato, nessuno mi nega di considerare la successione $g(x_n,t_{\infty})$

La tesi equivale a $min{N:g(x_n,t_{\infty})<\varepsilon, \foralln>N}=\infty$

ti sembrano sbagliati i seguenti passaggi?

$min{N:g(x_n,t_{\infty})<\varepsilon, \foralln>N}=min{N:lim_{k->\infty}g(x_n,t_k)<\varepsilon, forall n>N}=$
$=min{$sup${N_k,k\inNN}}=\infty$

[Luca.Lussardi]

Ci ho ripensato anche io, e la storia non mi convince ancora purtroppo.

Qul minimo che hai scritto e che fa $+\infty$... se è un minimo ed è infinito, allora come fai a prendere $n>+\infty$? in quell'insieme?

[Principe2]

appunto perchè non si può prendere $n>\infty$ allora deve essere $>\varepsilon$ per infiniti indici.

Però la penultima diseguaglianza è sbagliata...

Cioè la tesi è sbagliata tutta... ho un controesempio...

ora vedo se riesco ad ottenerla ugualmente usando altre ipotesi che non ho usato

grazie comunque per l'aiuto