Estratta divergente da una successione illimitata

[Chiara941]

salve, mi servirebbe la dimostrazione che da una successione illimitata si può estrarre una sottosuccessione divergente

[ostrogoto1]

Consideriamo caso di una successione in $ RR $. Se $ {x_n} $ e' illimitata puo' esserlo superiormente o inferiormente oppure entrambe le cose (tipo $ a_n=(-1)^n\n $). Per ridursi al caso di illimitata superiormente prendiamo $ abs(a_n) $. Allora per ogni intero $ k>0 $ si puo' trovare $ n_k $ tale che $ x_(n_k) >k $ e inoltre $ n_1

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[Chiara941]

Da cosa possiamo supporre che la successione degli indici nk sia strettamente crescente?

[ostrogoto1]

Sia $ {a_n} $ illimitata superiormente.
scelgo k=1 allora esiste un elemento di $ {a_n} $, $ a_(n_1) $ tale che $ a_(n_1)>1 $, altrimenti cade l'illimitatezza della successione di partenza.
Per k=2. Tra gli altri elementi di $ {a_n} $ con $ n>n_1 $ (bisogna rispettare l'ordine quando si estrae la sottosuccessione), esiste un elemento $ a_(n_2) $ tale che $ a_(n_2)>2 $. Un tale elemento deve esistere perche' l'insieme $ A={a_1,...a_(n_1)} $ ha un numero finito di termini quindi ne posso trovare il Massimo in $ RR $ e quindi affinche' la successione sia illiimitata superiormente ho bisogno di altri termini piu' grandi del massimo di questo insieme A e pure maggiori di 2.
Continuo in questa maniera per definire la sottosuccessione.

[dissonance]

@ostrogoto: in linea di principio va bene ma questo è un errore:

Per ridursi al caso di illimitata superiormente prendiamo |an|

Tu puoi estrarre quello che vuoi da $|a_n|$, che è illimitata superiormente, ma la corrispondente successione $a_{n_k}$ non è obbligata ad essere divergente.

Secondo me non ti puoi "ridurre al caso di illimitata superiormente". Più semplicemente, distingui due casi: se la successione è illimitata superiormente, puoi fare la costruzione che dici. Se la successione è illimitata inferiormente devi fare una costruzione speculare.

[ostrogoto1]

@dissonance e' vero, hai ragione...