Estrarre equazione da un grafico e proprieta' del ritardo di Laplace
Buongiorno a tutti, ho provato a risolvere questo problema ma non sono sicuro della soluzione che ho scelto.
Avevo questa funzione in Input al mio sistema:
http://i.stack.imgur.com/fyaBo.jpg
Ho pensato che l'input fosse trascrivibile in questo modo:
$u(t)= 2[H(t-4)-H(t-6)] + (-2t+14)[H(t-6)-H(t-7)] $
La parte a gradino tra 4 e 6, piu' la retta fra 6 e 7
(per la retta fra due punti ho usato la formula: $y-y_1=[\frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}](x-x_1) $ )
Dopo aver usato Laplace, ottengo questo risultato:
$U(s)=2(\frac{e^{-4s}}{s^2} - \frac{e^(-6s)}{s^2}) + (\frac{-2}{s^2} + \frac{14}{s})(\frac{e^{-6s}}{s^2}-\frac{e^{-7s}}{s^2})$
E alla fine ho un input composito formato dalla somma di questi segnali:
$U(s)= \frac{2e^{-4s}}{s^2}-\frac{2e^(-6s)}{s^2}-\frac{2e^{-6s}}{s^4}+\frac{2e^{-7s}}{s^4}+\frac{14e^{-6s}}{s^3}-\frac{14e^{-7s}}{s^3} $
Le mie congetture sono corrette? Non sono molto sicuro circa la formulazione dell'equazione a partire dal grafico.
Avevo questa funzione in Input al mio sistema:
http://i.stack.imgur.com/fyaBo.jpg
Ho pensato che l'input fosse trascrivibile in questo modo:
$u(t)= 2[H(t-4)-H(t-6)] + (-2t+14)[H(t-6)-H(t-7)] $
La parte a gradino tra 4 e 6, piu' la retta fra 6 e 7
(per la retta fra due punti ho usato la formula: $y-y_1=[\frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}](x-x_1) $ )
Dopo aver usato Laplace, ottengo questo risultato:
$U(s)=2(\frac{e^{-4s}}{s^2} - \frac{e^(-6s)}{s^2}) + (\frac{-2}{s^2} + \frac{14}{s})(\frac{e^{-6s}}{s^2}-\frac{e^{-7s}}{s^2})$
E alla fine ho un input composito formato dalla somma di questi segnali:
$U(s)= \frac{2e^{-4s}}{s^2}-\frac{2e^(-6s)}{s^2}-\frac{2e^{-6s}}{s^4}+\frac{2e^{-7s}}{s^4}+\frac{14e^{-6s}}{s^3}-\frac{14e^{-7s}}{s^3} $
Le mie congetture sono corrette? Non sono molto sicuro circa la formulazione dell'equazione a partire dal grafico.
Risposte
Non ho ben capito come usi il simbolo della funzione gradino (sarà semplicemente una differenza di notazione). Indicando con $H(t)$ la funzione di Heaviside (quella che vale $0$ per $t<0$ e $1$ per $t\ge 0$) io scriverei così
$$u(t)=2[H(t-4)-H(t-6)]+(14-2t)[H(t-6)-H(t-7)]$$
per cui mi sembra che tu abbia scritto correttamente (ripeto, a meno di notazioni).
Ora, dovrebbe esserti noto che
$$\mathcal{L}[f(t-a)\cdot H(t-a)]=e^{-as}\cdot F(s)$$
dove $F(s)=\mathcal{L}[f(t)]$ è la trasformata di Laplace. Ora, io scriverei la funzione così:
$$u(t)=2H(t-4)-2(t-6)H(t-6)-2(t-7)H(t-7)$$
da cui trasformando
$$U(s)=\frac{2 e^{-4s}}{s}-\frac{2 e^{-6s}}{s^2}-\frac{2 e^{-7s}}{s^2}$$
che mi sembra la trasformata corretta, considerando che stiamo parlando di funzioni lineari (per cui non capisco come ti facciano a venire fuori degli $s^3$).
$$u(t)=2[H(t-4)-H(t-6)]+(14-2t)[H(t-6)-H(t-7)]$$
per cui mi sembra che tu abbia scritto correttamente (ripeto, a meno di notazioni).
Ora, dovrebbe esserti noto che
$$\mathcal{L}[f(t-a)\cdot H(t-a)]=e^{-as}\cdot F(s)$$
dove $F(s)=\mathcal{L}[f(t)]$ è la trasformata di Laplace. Ora, io scriverei la funzione così:
$$u(t)=2H(t-4)-2(t-6)H(t-6)-2(t-7)H(t-7)$$
da cui trasformando
$$U(s)=\frac{2 e^{-4s}}{s}-\frac{2 e^{-6s}}{s^2}-\frac{2 e^{-7s}}{s^2}$$
che mi sembra la trasformata corretta, considerando che stiamo parlando di funzioni lineari (per cui non capisco come ti facciano a venire fuori degli $s^3$).
Dunque, innanzitutto grazie mille per la risposta!
Si', ho omesso la H, ed effettivamente era meglio non lo facessi
ora l'aggiungo.
Comunque, se ho capito i passaggi sono questi:
$2H(t-4)-2H(t-6)+(14-2t)(H(t-6)-H(t-7))$
$2H(t-4)-2H(t-6)-2tH(t-6)+2tH(t-7)+14H(t-6)-14H(t-7)$
A questo punto espando $2tH(t-6)$ in modo da ottenere $2(t-6)H(t-6)+12H(t-6)$ perche' il termine indica che la funzione rampa $2t$ parte dal punto $6$ ma con altezza $12$, quindi non posso avere solo $2(t-6)H(t-6)$ perche' partirebbe da $6$ con altezza $0$, invece il gradino $12H(t-6)$ fa si' che l'altezza a $0$ sia proprio $12$. Idem per l'altra rampa, dove pero' l'altezza a $0$ e' $14$
$2H(t-4)-2H(t-6)-2(t-6)H(t-6)-12H(t-6)+2(t-7)H(t-7)+14H(t-7)+14H(t-6)$
Quindi, semplificando i termini $H(t-6)$:
$2H(t-4)-2(t-6)H(t-6)+2(t-7)H(t-7)$
A questo punto applico semplicemente la trasformata di Laplace per ottenere il risultato:
$2e^(-4s)/s-2e^(-6s)/s^2+2e^(-7s)/s^2$
Perfetto, grazie mille
Si', ho omesso la H, ed effettivamente era meglio non lo facessi
ora l'aggiungo.Comunque, se ho capito i passaggi sono questi:
$2H(t-4)-2H(t-6)+(14-2t)(H(t-6)-H(t-7))$
$2H(t-4)-2H(t-6)-2tH(t-6)+2tH(t-7)+14H(t-6)-14H(t-7)$
A questo punto espando $2tH(t-6)$ in modo da ottenere $2(t-6)H(t-6)+12H(t-6)$ perche' il termine indica che la funzione rampa $2t$ parte dal punto $6$ ma con altezza $12$, quindi non posso avere solo $2(t-6)H(t-6)$ perche' partirebbe da $6$ con altezza $0$, invece il gradino $12H(t-6)$ fa si' che l'altezza a $0$ sia proprio $12$. Idem per l'altra rampa, dove pero' l'altezza a $0$ e' $14$
$2H(t-4)-2H(t-6)-2(t-6)H(t-6)-12H(t-6)+2(t-7)H(t-7)+14H(t-7)+14H(t-6)$
Quindi, semplificando i termini $H(t-6)$:
$2H(t-4)-2(t-6)H(t-6)+2(t-7)H(t-7)$
A questo punto applico semplicemente la trasformata di Laplace per ottenere il risultato:
$2e^(-4s)/s-2e^(-6s)/s^2+2e^(-7s)/s^2$
Perfetto, grazie mille
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