Estenza sviluppo in serie di Taylor
Ciao a tutti,
ho capito come si fanno gli sviluppi in serie di Taylor e di Mac Laurin (che è semplicemente centrata in $0$).
Ma quando mi si chiede di verificare che lo sviluppo in serie di Taylor esiste, come mi devo comportare?
Ad esempio come svolgo un esercizio del genere?
-Verificare che sussiste il seguente sviluppo in serie di Taylor
$ e^x=1+x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+...+x^n/(n!)+... $
(che fra l'altro è uno sviluppo notevole)
Grazie mille a tutti
ho capito come si fanno gli sviluppi in serie di Taylor e di Mac Laurin (che è semplicemente centrata in $0$).
Ma quando mi si chiede di verificare che lo sviluppo in serie di Taylor esiste, come mi devo comportare?
Ad esempio come svolgo un esercizio del genere?
-Verificare che sussiste il seguente sviluppo in serie di Taylor
$ e^x=1+x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+...+x^n/(n!)+... $
(che fra l'altro è uno sviluppo notevole)
Grazie mille a tutti
Risposte
Confido ancora in un vostro aiuto...purtroppo non so neanche da dove partire
una condizione sufficiente per la sviluppabilità di una funzione in serie di Taylor(o di Mac Laurin) è la seguente:
Se una funzione $f(x)$ è indefinitamente derivabile in un intorno $I$ di $x_0$ (o dell'origine),e se le sue derivate sono ivi equilimitate,cioè se esiste un numero positivo M tale che ,per ogni $x$ di $I$ e per ogni valore di $n$,risulti $|f^n(x)| leq M$,la $f(x)$ in $I$ è sviluppabile in serie di Taylor(o di Mac Laurin)
Se una funzione $f(x)$ è indefinitamente derivabile in un intorno $I$ di $x_0$ (o dell'origine),e se le sue derivate sono ivi equilimitate,cioè se esiste un numero positivo M tale che ,per ogni $x$ di $I$ e per ogni valore di $n$,risulti $|f^n(x)| leq M$,la $f(x)$ in $I$ è sviluppabile in serie di Taylor(o di Mac Laurin)
Grazie mille per la risposta.
Ma quindi, come posso applicare tale condizione sufficiente per dimostrare che, per $x\in(-1,1)$, esiste lo sviluppo di Mac Laurin $\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}$
Grazie mille
Ma quindi, come posso applicare tale condizione sufficiente per dimostrare che, per $x\in(-1,1)$, esiste lo sviluppo di Mac Laurin $\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}$
Grazie mille
in questo caso penso che si debba fare un altro ragionamento :
la serie geometrica $1+ q+q^2+.....$ converge a $1/(1-q)$ se $|q|<1$
posto $q=x^2$ hai la tesi
ricordiamo che il criterio esposto prima dà una condizione sufficiente,non necessaria : le derivate di $1/(1-x^2)$ non sono equilimitate in $(-1,1)$
la serie geometrica $1+ q+q^2+.....$ converge a $1/(1-q)$ se $|q|<1$
posto $q=x^2$ hai la tesi
ricordiamo che il criterio esposto prima dà una condizione sufficiente,non necessaria : le derivate di $1/(1-x^2)$ non sono equilimitate in $(-1,1)$
"quantunquemente":
in questo caso penso che si debba fare un altro ragionamento :
la serie geometrica $1+ q+q^2+.....$ converge a $1/(1-q)$ se $|q|<1$
posto $q=x^2$ hai la tesi
ricordiamo che il criterio esposto prima dà una condizione sufficiente,non necessaria : le derivate di $1/(1-x^2)$ non sono equilimitate in $(-1,1)$
Io continuo a non capire come fare questo tipo di dimostrazioni...proviamo a cambiare esempio, e dimostrare che per $x\in(-1,1)$ esiste lo sviluppo di Mac Laurin $ log(\frac{1+x}{1-x})^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2x+1}}{2n+1} $
basta scrivere la funzione nella forma
$1/2[ln(1+x)-ln(1-x)]$
e sviluppare $ln(1+z)$ una volta con $z=x$ e una volta con $z=-x$
$1/2[ln(1+x)-ln(1-x)]$
e sviluppare $ln(1+z)$ una volta con $z=x$ e una volta con $z=-x$
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